Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
векторов смещения u (t,j) всех атомов кристалла. Это можно записать в
виде
Fa(s, i) = 2 Cab(s, t, Rj-Rt)ub{t, j). (7.2)
ft. 1.1
Здесь индексы а и b принимают по три значения, соответствующих
координатам х, у, г. Через Fa(s, i) обозначена a-я компонента силы,
действующей на s-й атом в элементарной ячейке с радиусом-вектором Rit а
через ub(t,j) - b-я компонента смещения /-го атома в элементарной ячейке
с радиусом-вектором Rj. Коэффициент Cab(s, /, R;--R,) в линейной теории
зависит от выбора компонент а и Ь, от номера атомов в элементарных
ячейках (индексы s и /) и от расстояния Rj - R* между двумя элементарными
ячейками. С другой стороны, ввиду периодичности кристалла коэффициенты
СаЬ не зависят от абсолютного положения каждой из элементарных ячеек.
Силы (7.2) не предполагаются центральными, и на них не накладывается
никаких
См. также [18'19]. - Прим. ред,
§ 2. Тепловые колебания кристалла
191
других ограничений подобного типа. Между коэффициентами С существуют
соотношения, определяемые точечной группой симметрии кристалла. Мы не
будем здесь рассматривать эти соотношения подробнее; в большинстве
случаев они оказываются очевидными.
Теперь можно написать второй закон Ньютона для движения атомов. Обозначая
массу s-го атома в элементарной ячейке через ms, имеем
ms dlUadp' 0 = Fa (s, i) = ? Cab (s, t, R, - R,) ub (t, j). (7.3)
b,t,i
Будем искать решение этих уравнений в виде упругих волн, в которых
смещения имеют вид
иа (s, 0 = доа (s) ехр [i {at - q • R,)]. (7.4)
Здесь wa(s) и ш - искомые функции волнового вектора q. Как правило, мы
будем обозначать волновой вектор упругой волны через q, оставляя символ к
для обозначения волнового вектора электронных и электромагнитных волн.
Эти векторы принадлежат одному и тому же k-пространству, и при одинаковых
обозначениях в случае взаимодействия между упругими и электромагнитными
волнами и* невозможно было бы отличить друг от друга. При подстановке
выражения (7.4) в уравнение (7.3) последнее принимает вид
- msa2wa (s) = 2 СаЬ (s, t, Ru) exp (- iq ¦ Ru) wb (f) (7.5)
b, t, D
(здесь разность Rj - R,- заменена на R"). Мы получили систему 3g
уравнений для 3g смещений g атомов элементарной ячейки. Это линейные
однородные уравнения для постоянных rwa(s), где индекс а принимает
значения х, у, г, а s нумерует атомы элементарной ячейки, пробегая
значения от 1 до g. Как известно, такая система уравнений имеет
нетривиальное решение лишь в том случае, если ее определитель равен нулю.
Это условие приводит к уравнению степени 3g, определяющему ш2 как функцию
волнового вектора q. Это уравнение аналогично секуляр-ному уравнению
квантовой механики, но ввиду конечного числа атомов в элементарной ячейке
оно имеет конечный порядок. По этой причине, зная коэффициенты С, его
можно точно решить с помощью электронных вычислительных машин. Определив
частоту, найдем величины до, после чего можно будет определить и смещения
атомов для 3g нормальных колебаний кристалла в зависимости от волнового
вектора q.
Заметим, что смещения (7.4) не изменяются при добавлении к волновому
вектору q вектора обратной решетки Kj, поскольку
192
Гл. 7. Колебания решетки и рассеяние рентгеновских луней
произведение Kj ¦ Ri равно целому числу, умноженному на 2я. Поэтому все
возможные решения можно получить, ограничивая область изменения вектора q
пределами первой зоны Бриллюэна. Иначе говоря, q можно рассматривать как
приведенный волновой вектор. При таком выборе q квадрат частоты со2 можно
рассматривать как периодическую функцию точки в к-пространстве,
повторяющуюся в каждой элементарной ячейке последнего (подобно энергии в
зонной теории). Пользуясь теми же приемами, что и в теории электронных
энрегетических зон, можно построить зависимость со от q; при этом
получаются значения со вдоль определенных прямых в k-пространстве
(например, [100] или [111]), проведенных из центра зоны Бриллюэна к ее
краю. Мы получим 3g отдельных кривых, причем в некоторых точках будет
иметь место вырождение в полной аналогии со случаем электронных зон.
В частности, оказывается, что для трех кривых, называемых акустическими
ветвями, частота со стремится к нулю при q -> 0. Название "акустическая
ветвь" связано с тем, что в предельном случае длинных волн (малых q)
получаются' колебания звуковой частоты. Эти три моды при q = 0 вырождены,
и каждая из них имеет нулевую частоту. Причина обращения частоты в нуль
состоит в том, что случай q = 0 соответствует одинаковому смещению всех
атомов кристалла вдоль любой из осей х, у, г,-не вызывающему изменения
энергии кристалла, поэтому квазиуп-ругие силы, а следовательно, и
резонансные частоты равны нулю. В кубическом кристалле при
распространении волны в направлении [100] при q ф 0 вырождение частично
снимается, и мы имеем одну продольную волну и двукратно вырожденную
поперечную волну, в которой колебания могут происходить либо вдоль оси у,
либо вдоль оси г. При рассмотрении волны в произвольном направлении
