Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
объема будет приходиться 3N нормальных координат. Поскольку это число
конечно, вполне естественно ожидать, что будет существовать некоторая
максимальная частота или минимальная длина волны. Итак, мы приходим к
тому же выводу, что и в предыдущем абзаце. Более внимательное
исследование, выполненное Борном и Карманом, показало, что оба подхода в
точности согласуются друг с другом.
В теории Борна - Кармана дается подробное рассмотрение этих 3N нормальных
координат. В теории Дебая для распределения частот осцилляторов
используется приближение, взятое из обычной акустики, а атомная природа
вещества учитывается лишь тем, что число нормальных колебаний в единице
объема принимается равным 3N.
Мы уже упоминали, что эти теории колебаний кристаллической решетки
появились в 1912 г. одновременно с открытием дифракции рентгеновских
лучей. В .ходе быстрого развития тео-
§ 1. Теория Дебая и Борна - Кармана
189
рии выяснилось влияние колебаний решетки на рассеяние рентгеновских
лучей, что и привело к возможности экспериментального исследования этих
колебаний рентгеновскими методами. В частности, Дебай [в] показал, что
тепловые колебания должны сильно влиять на интенсивность отраженных
рентгеновских лучей. Это влияние описывается так называемым фактором
Дебая - Уоллера (Уоллер [7] занимался этими вопросами несколько позднее).
Указанный эффект был обнаружен экспериментально в согласии с теорией.
Подробнее мы рассмотрим его в § 3. В это же время Дебай [8-9] и Бриллюэн
[10' и] предсказали совсем иной эффект - диффузионное рассеяние
рентгеновских лучей колебаниями решетки, о котором мы уже упоминали в гл.
1, § 5. В то время это предсказание почти не привлекло внимания. Однако
позднее, уже в последние годы, исследование этого типа рассеяния (не
только рентгеновских лучен, но и нейтронов) привело к созданию
экспериментальных методов изучения спектра упругих колебаний
кристаллической решетки. Мы рассмотрим эти вопросы в § 4-6 и в гл. 8.
Изучение упругих колебаний решетки, разумеется, привело к исследованию
теплоемкости; кроме того, была развита также теория теплового расширения
и других явлений, относящихся к уравнению состояния твердого тела, т. е.
к связи между давлением, температурой и объемом кристалла. Это было
проделано Грюнайзеном [12], который исследовал изменение частот колебаний
решетки при сжатии кристалла и таким путем определил зависимость
внутренней энергии от объема. Отсюда с помощью термодинамических
соотношений можно получить ряд сведений о поведении кристалла.
Теория колебаний решетки имеет много точек соприкосновения с современными
исследованиями в области физики твердого тела. Во многих случаях
оптическое поглощение или излучение связано не только с электронными
переходами, но и с изменением колебательного состояния решетки. Изменение
квантовых чисел решетки обычно интерпретируется как испускание и
поглощение квантов колебательной энергии - фононов. .Как было показано в
гл. 1, § 5, рассеяние электронных волн колебаниями р'ешетки дает основной
вклад в электрическое сопротивление. Только что мы упомянули о влиянии
колебаний решетки на рассеяние рентгеновских лучей и нейтронов. Кроме
того, как уже говорилось в настоящем параграфе, удельная теплоемкость и
уравнение состояния твердого тела определяются в основном колебаниями
решетки. Это лишь немногие примеры многочисленных применений
рассматриваемой теории. В данной книге мы не будем останавливаться на
подробностях теории теплоемкости и теплового расширения; элементарное
изложение
190
Г л. 7. Колебания решетки и рассеяние рентгеновских лучей
этих вопросов можно найти в книге автора [13]'), а более полное - в книге
Займана [14]. Другие приложения, о которых здесь упоминалось, будут
рассмотрены в этой и последующих главах.
§ 2. Тепловые колебания кристалла
Основные черты теории колебаний решетки по Борну - Карману можно
представить в очень простой форме. Будем исходить из классической
механики и напишем ньютоновские уравнения движения для упругих колебаний
атомов кристалла, действующих друг на друга с линейными возвращающими
силами. Пусть каждая элементарная ячейка кристалла содержит g атомов и
несмещенное положение равновесия s-ro атома в i-й элементарной ячейке
описывается радиусом-вектором rs + R,-. Здесь rs - радиус-вектор атома
относительно начала координат, выбранного внутри его элементарной ячейки,
a R,- - вектор, проведенный из общего начала координат в соответствующую
точку i-й элементарной ячейки. Эти положения атомов предполагаются
равновесными. Пусть теперь s-й атом в i-й ячейке смещается из положения
равновесия на малый вектор u(s, i). При этом на каждый атом будет
действовать сила, представляющая собой линейную комбинацию смещений всех
атомов. Членами, нелинейными относительно смещений, в обычной линейной
теории пренебрегают.
Итак, мы должны отразить тот факт, что каждая из трех компонент вектора
силы, действующей на атом (s,i), есть линейная комбинация трех компонент
