Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
почти одновременно Дебаем [2] и Борном и Карманом [3-5]. Названные авторы
приписали несовершенство теории одному и тому же источнику -
предположению Эйнштейна о том, что все осцилляторы в кристалле обладают
одинаковой частотой. При более подробном исследовании колебаний
кристаллической решетки оказалось, что в действительности имеется
распределение частот от самых низких до некоторого максимального
значения. Следовательно, вместо того чтобы просто умножать энергию
осциллятора на число независимых осцилляторов [как это было сделано при
выводе формулы (7.1)], необходимо, приписывая осцилляторам различные
частоты, про-
§ I. Теория Дебая и Борна - Кармана
187
суммировать выражения типа (7.1) по всем осцилляторам. Теории Дебая и
Борна - Кармана отличались друг от друга только допущениями относительно
спектра частот осцилляторов, но это отличие не приводило к существенно
различным .результатам. Обе теории давали формулы, хорошо согласовавшиеся
с опытом, устраняя тем самым дефекты, имевшиеся в трактовке Эйнштейна.
Теория Дебая была проще, позволяя получать полезные результаты, и оказала
огромное влияние на всю теорию твердого тела. Ее простота почти полностью
отвлекла внимание физиков и химиков от теории Борна - Кармана, которая,
будучи гораздо полнее и точнее, приводила тем не менее к аналогичным
результатам. Лишь в последние годы, когда стало возможным
экспериментальное изучение колебательных спектров твердых тел, стало
ясно, что правильна Именно теория Борна - Кармана, в то время как теория
Дебая дает лишь полезное первое приближение. В связи с этим мы
сосредоточим основное внимание на теории Борна - Кармана1).
Обе указанные теории исходят из того, что тепловые колебания твердого
тела представляют собой суперпозицию упругих колебаний, аналогичных
звуковым волнам. Рассматривая обычные механические колебания твердого
тела, легко видеть, что в последнем могут образовываться стоячие звуковые
волны. Длины волн должны быть такими, чтобы на длине образца укладывалось
целое число полуволн. Подробное исследование таких колебаний очень сложно
ввиду взаимодействия между продольными и поперечными волнами,
распространяющимися в твердых телах с разными скоростями (причем
продольные волны имеют большую скорость, чем поперечные). Однако общая
ситуация довольно проста. Поскольку линейные размеры кристалла
фиксированы, более высоким модам будут соответствовать большие числа
полуволн, укладывающихся на длине кристалла, более короткие длины волн и
более высокие частоты. Низким модам соответствуют звуковые частоты; в
дальнейшем с повышением порядка мы быстро переходим к ультразвуковым
волнам, лежащим вне области слышимости. Имея дело с идеальной непрерывной
средой, мы получили бы все более и более высокие моды со все более
короткими длинами волн и все большими частотами без какого-либо
ограничения. Фактически, однако, дело обстоит иначе, в чем легко
убедиться любым из двух указанных ниже способов.
') Список литературы, посвященной колебаниям решетки, будет приведен в
гл. 8, § 6. Наиболее видными фигурами в этой области были, по-видимому,
Борн и Блэкман, который занялся этой 'проблемой в 30-Х годах И внес
большой вклад в ее решение.
188
Гл. 7. Колебания решетки и рассеяние рентгеновских лучей
Во-первых, при уменьшении длины волны в конце концов наступит момент,
когда половина длины волны станет равной расстоянию между соседними
атомами. При этом последние будут колебаться в противоположных фазах.
Представление о более коротких волнах не имеет смысла, поскольку вещество
состоит из атомов и при описании колебаний решетки можно говорить лишь о
смещениях отдельных атомов. Полное число мод колебаний должно быть
ограничено, поскольку в спектре колебаний не существует меньших длин
волн. Иначе говоря, не может быть частот, превышающих некоторое
максимальное значение, отвечающее случаю, когда половина длины волны
равна межатомному рассеянию.
Во-вторых, твердое тело можно рассматривать как динамическую систему, в
которой силы, действующие на атомы, пропорциональны их смещениям из
положений равновесия, так что атомы совершают простое гармоническое
движение. Как известно из теоретической механики, в этом случае можно
ввести нормальные координаты - линейные комбинации смещений различных
атомов, обладающие тем свойством, что уравнение движения для каждой
нормальной координаты имеет тот же вид, что и для линейного осциллятора.
Именно в этом смысле говорят, что рассматриваемая система подобна набору
линейных осцилляторов. Из механики известно также, что число нормальных
координат, которые можно ввести, точно равно числу степеней свободы
системы. Под последним мы понимаем число координат, необходимых для
описания положений всех атомов. Поскольку положение частицы определяется
тремя координатами, на единицу объема должно приходиться 3N степеней
свободы, где N - число атомов в единице объема. Таким образом, на единицу
