Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слэтер Дж. -> "Диэлектрики полупроводники, металлы" -> 8

Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.

Слэтер Дж. Диэлектрики полупроводники, металлы — М.: Мир, 1969. — 648 c.
Скачать (прямая ссылка): diaelektrikipoluprovodnikov1969.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 313 >> Следующая

Трудность с вычислением удельной теплоемкости оставалась одной из
фундаментальных проблем теории металлов вплоть до открытия статистики
Ферми - Дирака в 1926 г. [в-7]. Ферми и Дирак, независимо предложившие
эту форму статистики, заметили,, что принцип запрета Паули приводит к
существенному изменению удельной теплоемкости газа. Мы не будем здесь
подробно останавливаться на статистике Ферми - Дирака, по-
§ 4. Статистика Ферми - Дирака для электронов в металле
21
скольку она излагается в курсах термодинамики и статистической
механики1). Отметим, однако, важнейшие особенности, интересующие нас в
связи с применением статистики Ферми - Дирака к электронному газу.
Статистика Ферми - Дирака относится к совокупностям частиц (например,
электронов), которые подчиняются принципу Паули, но во всех других
отношениях движутся независимо друг от друга. В частности, они могут
двигаться и во внешнем поле, хотя в случае свободных электронов таковое
отсутствует. Рассмотрим распределение электронов по различным возможным
Фиг. 1.1. Функция Ферми F (Е), согласно формуле (1.8).
а- при температуре абсолютного нуля; 6, с- при более высоких
температурах.
энергетическим уровням. Как известно, согласно принципу Паули, каждый
уровень может быть занят не более чем одним электроном с заданной
ориентацией спина. При температуре абсолютного нуля нижние энергетические
уровни вплоть до уровня Ферми целиком заполнены, так что занятых
состояний как раз достаточно для размещения всех электронов.
Статистика Ферми - Дирака позволяет -обобщить этот результат на случай
боЛее высоких температур. Именно при температуре Т среднее число
электронов с заданной ориентацией спина, находящихся в стационарном
состоянии с энергией Е, дается выражением
F № = [exp (Е - EF)/kT] + 1 ' (1-8)
Здесь EF есть энергия Ферми, подлежащая определению. Вид функции Ферми F
(Е) показан на фиг. 1.1. Когда энергия Е значительно меньше EF, F (Е)
приближается к 1; при значении Е гораздо большем, чем EF, функция F (Е)
стремится к нулю. Как
¦) Элементарное изложение можно найти, например, в книге Is] (см., в
частности, гл. V, VI, XXIX). (На русском языке можно рекомендовать
монографии [24~27]. - Прим. ред.)
22
Гл. 1. Теория электропроводности
видно из того же графика, переход от одного случая к другому происходит
тем быстрее, чем ниже температура. При температуре абсолютного нуля
функция F{E) изменяется бесконечно быстро: при всех энергиях, меньших Ер,
каждый уровень занят двумя электронами с различными ориентациями спина, в
то время как при энергиях, больших Ер, все уровни пусты. Таким образом,
энергия Ер соответствует введенному выше уровню Ферми. При температуре
абсолютного нуля это есть верхний заполненный уровень энергии.
При произвольной температуре величина Ер определяется из условия, что
сумма значений F(E) по всем энергетическим уровням должна быть равна
полному числу электронов в системе. Таким образом, зная энергии различных
стационарных состояний, мы можем вычислить Ер. Проделаем это для газа
свободных электронов. Пусть газ заключен в прямоугольный ящик с размерами
X, У, Z вдоль трех координатных осей; для удобства будем использовать
периодические граничные условия. Следовательно, компоненты волнового
вектора kx, kv, kz, описывающие волновые функции, должны удовлетворять
условиям
Пг пи пг
kx = 2 л-у- , ky = 2n-y~, = 2л , (1.9)
где пх, пу, пг - целые числа.
Энергия, соответствующая плоской волне, определяется выражением
где m-масса электрона. Поверхности постоянной энергии в A-пространстве
имеют вид сфер с объемом
1ядз = 1яЛт?)-
3 3 Л й3 ¦
Согласно (1.9), возможные значения волновых векторов изображаются набором
очень близко расположенных точек в к-про-странстве. Расстояния между
соседними точками в направлениях kx, ky, kz равны соответственно 2л/X,
2л/У, 2л/Z. Следовательно, объем k-пространства, связанный с одним
дозволенным волновым вектором, составляет
8я3 . 8я3
XYZ ~ V '
где V=XYZ - объем газа. Число уровней с энергией меньше Е равно объему
сферической поверхности энергии в к-про-странстве, деленному на 8л3/V, т.
е. на объем, связанный с одним
§ 4. Статистика Ферми - Дирака для электронов в металле
23
состоянием. Обозначим через N(E) число состояний с энергией, меньшей Е.
Получим
(2 шЕ)4'
V 4
8я3 ~ 3
А3
V.
Формула (111) дает число состояний с заданной ориентацией спина. В каждом
из них могут находиться два электрона с разными ориентациями спина. Таким
образом, если N - число электронов в газе, то энергия Ферми Ер
определяется следующим условием:
8 (2 N = -nK V,
(1.12)
1
А3
I ЗЛ/А3 У*
Ef~ 2m \ 8л V j
Видно, что энергия Ферми зависит от отношения N/V, т. е. от концентрации
электронов, и не зависит от размеров образца.
Часто представляет интерес плотность состояний, т. е. число состояний в
интервале между Е и Е +'dE. Эту величину легко найти, дифференцируя выра-
жение (1.11) по Е. Получаем = 2n(2m)s/i?Vl-^..(1.13)
dN
dE
Фиг. 1.2. Энергетическая зависимость числа занятых уровней в газе
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 313 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed