Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
прогресс в нашем понимании природы твердого тела, а также на появление
квантовомеханических основ теории.
Рассматривая электропроводность металлов, Друде и Лорентц исходили из
предположения, что в единице объема металла содержится N электронов с
зарядом - е (мы будем обозначать через е абсолютную величину заряда, т.
е. положительное число). При движении через вещество электрон должен
сталкиваться с атомами, что, как показали названные авторы, эквивалентно
наличию силы сопротивления, пропорциональной скорости. Таким образом,
постулируется, что электрон с массой т, перемещающийся под действием
электрического поля напряженностью Е, подчиняется следующему уравнению
движения:
Здесь член -mgdxldt описывает силу сопротивления, пропорциональную
скорости. Решение уравнения (1.1) с начальным условием, согласно которому
при t=0 скорость равна нулю, имеет вид
§ 2. Свободные электроны
m4ir=-eE-mg4r.
(1.1)
]) В книге [5] дан великолепный обзор работ на эту тему, включая и
исследования, выполненные значительно ранее.
iS 2 Свободные электроны
17
Это означает, что спустя некоторое время, по порядку величины равное /о,
скорость электрона v будет снижаться до значения -eEjmg,
пропорционального напряженности поля. Эго значение получается нз
уравнения (1.1), если положить ускорение равным нулю. Вскоре мы убедимся,
что это время ta очень мало. Соответственно в большинстве практически
интересных случаев можно считать, что стационарное состояние с постоянной
скоростью достигается мгновенно.
При N электронах в единице объема плотность тока J будет равна -Nev.
Таким образом,
т Ne* с п Ne2
J = Е = аЕ, где ст =-------------. (1.3)
mg * mg v '
Это - закон Ома, причем величина ст играет роль электропроводности, т. е.
обратного удельного сопротивления. Комбинируя (1.3) с (1.2), можно
получить и другое выражение для электропроводности, а именно
Если определить величину ст из опыта, предположить, что число N по
порядку величины соответствует одному электрону на атом, и подставить
вместо m массу электрона, то из формулы
(1.4) можно оценить t0. Проделав это для металла, мы получим крайне малую
величину t0. Тем самым оправдывается сделанное ранее утверждение о том,
что после приложения ускоряющей силы состояние с постоянной скоростью
достигается почти мгновенно.
Величине to можно придать и несколько иной смысл. Для этого рассмотрим
решение (1.1) для случая, когда напряженность поля равна нулю, но при ^ =
0 скорость имеет некоторое значение Сто, отличное от нуля. Получим
ст = ст0ехр (--?-)• (1.5)
Отсюда явствует, что to есть время, необходимое для того, чтобы начальная
дрейфовая скорость электронов уменьшилась в 1/е раз.
Часто бывает удобно написать полученные выше формулы в ином виде.
Определим подвижность заряженной частицы в электрическом поле как
скорость, которую эта частица приобретает в поле единичной напряженности.
Величина Скорости стационарного движения определяемая равенством (1.2),
составляет eElm Следователвно, подвижность р равна e/mg.
2 Дж. Слэтер
18
Гл. 1. Теория электропроводности
Соотношение (1.3), выраженное через подвижность, запишется в виде
o = Ne\i. (1.6)
Для хороших проводников экспериментально получены значения -подвижности
порядка сотен см?/в • сек. При этой оценке полагалось, что величина N по
порядку близка к одному электрону на атом или же определяется по эффекту
Холла, как это будет описано в следующей главе.
Нетрудно пойти несколько дальше простых формул, пытаясь выяснить механизм
силы сопротивления. Согласно Лорентцу, ее можно рассматривать как
результат столкновений электрона с атомами. Простейшая статистическая
аппроксимация состоит в предположении, что электрон ускоряется в течение
среднего времени свободного пробега ti, а затем испытывает столкновение,
теряя при этом всю набранную им скорость. Скорость электрона через время
t после столкновения получается из уравнения (1.1) без последнего
слагаемого; она равна v = - (eE/m)t. Следовательно, средняя скорость за
время свободного пробега будет иср= - (eE/m) (tJ2), где множитель */г
обусловлен усреднением за время от начала движения, когда скорость равна
нулю, до момента столкновения. Отсюда получаем
Таким образом, очевидно, что время t\ просто связано с U, временем,
введенным ранее. Иными словами, время, необходимое для того, чтобы
скорость стала постоянной, то же, что и время свободного пробега.
Наш простейший вывод формулы (1.7), конечно, слишком груб, чтобы дать
точный численный результат. Чтобы улучшить его, следовало бы принять во
внимание трехмерный характер движения, а также тот факт, что значения
времени свободного пробега не обязаны быть одинаковыми, а могут
распределяться статистически. Такие уточнения были сделаны уже Друде и
Ло-рентцем в духе кинетической теории газов. При этом несколько изменился
численный коэффициент в формуле (1.7); основная же идея расчета осталась
в силе.
Итак, закон Ома вытекает из очень простого приложения идей электронной
