Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
в начале координат. Поскольку функция ехр (/Ка -г) в этой точке равна
единице, интеграл должен быть равен М. С другой стороны, из стандартных
условий ортогональности интеграл от ехр [/ (Ка - Ка) • г], взятый по
элементарной ячейке, равен нулю всегда, кроме случая Ка = Ка, когда он
равен объему ячейки Я. Следовательно, мы имеем
В(К)П = М, В (К) = -5- (4-34)
для любого значения К-
Подставим теперь разложение (4.30) для Z в уравнение
(4.31). Получим
V2Z ~ -k'1? = SАW [-?"- ^ + К*)2] Х
X ехр {/ [со/ - (к, + /к() • г - Ка ¦ г]}- (4.35)
Это выражение должно быть равно величине 1/ео, умноженной на ряд (4.32),
где коэффициенты В (К) определяются равенством (4.34). Приравнивая два
эти выражения почленно, находим
А (К) [-? - (к, + 1% + Ка)2] = - ¦ (4.36)
Отсюда можно найти векторы А (К), подставить их в формулу (4.30) и
записать окончательное выражение для вектора Герца:
7 - V ( - М ) ерх [i [caf - (kf + ike + Ка) ¦ г]}
e"G ) (w2/c2) - (kr + iki + K^)2 ' V
§ 3. Теория поляризации диэлектриков по Эвальду
123
Это - окончательное решение задачи, но им неудобно пользоваться, так как
ряд сходится медленно. В гл. 9, § 4, и в приложении 4 показано, как
получить более быструю сходимость; таким образом мы придем к практическим
методам расчета.
Немало сведений можно получить, однако, рассматривая и непосредственно
выражение (4.37). В данный момент нас интересуют оптические длины волн.
При этом величины ш/с и к, и kj по порядку величины равны числу 2jt,
деленному на оптическую длину волны. С другой стороны, величины К/, -
порядка 2л, деленного на межатомное расстояние. Следовательно, значения
Кл в сотни и тысячи раз превышают kr и kj. Иначе говоря, знаменатель в
выражении (4.37) для случая Кл = 0 гораздо меньше, чем для всех других
значений Кл. Это означает, что главную роль'в выражении для Z играет
слагаемое с Кл = 0. Рассмотрим сначала только этот член. Он описывает
плоскую волну с волновым вектором kr + tkj. Соответствующая напряженность
поля практически не изменяется в пределах ячейки, если не считать очень
малых изменений фазы, обусловленных большой, но конечной оптической
длиной волны. Следует ожидать поэтому, что рассматриваемый член описывает
обычное поле, которое возникло бы не для дискретного набора диполей, а
для непрерывного распределения поляризации.
Чтобы убедиться в этом, предположим, что весь вектор Герца сводится
только к одному главному члену
7 = _ _М_ ехр {i[(o< - (kf + iki) - г]} ,
е0П (ш2/с2) - (kr + iki)2 ' 1 J
и вычислим соответствующую напряженность электрического поля. Вместо того
чтобы использовать сразу выражение (4.23) для Е, удобнее сначала
преобразовать его с помощью векторного тождества
rot rot Z = grad div Z - ^Z.
Тогда
E = grad div
Если бы в выражении для Z содержался только главный член, то теория не
объясняла бы появление двойного лучепреломления: при этом все векторы D,
Е и Р оказались бы параллельными друг другу. Как известно, в таком случае
из уравнений Максвелла следует, что. вектор электрического поля должен
быть перпендикулярен волновому вектору. Следовательно, если векторы Е, Р,
D и М направлены вдоль оси х, то вектор k^ + ik,- не может иметь х-
компоненты. Тогда при вычислении divZ мы должны учесть только член dZJdx,
так как Z также будет
126 Гл. 4. Теория диэлектриков по Друде ¦- Лорентцу и Эвальду
иметь только ^-компоненту. Но поскольку (кг-И'кДх=0, функция (4.38) не
будет зависеть от х, divZ равна нулю и мы получим
с 1 дгг
Е = -
с2 dt2 -
Следовательно, учитывая временную зависимость, находим
F_ ш2 М ехр ("[ш< - (kr + ikj) • г] } "q.
с с2 е0Й (ш2/с2)-(кг + ;к,)2 '
Покажем теперь, что это - именно то выражение, которое мы и рассчитывали
получить.
Проще всего убедиться в этом следующим образом. Пусть имеется один диполь
с дипольным моментом
М ехр {i [со* - (kr + ik<) • R"]}, (4.40)
расположенный в точке R" элементарной ячейки. Поскольку
объем ячейки есть Q, вектор поляризации, равный дипольному моменту
единицы объема, равен
Р = ехр {i [со/ - (kr + ik,) • г]}. (4.41)
Мы пвели здесь непрерывную функцию координат, приводящую к правильному
значению поляризации для каждой Ячейки. Следовательно, выражение (4!39)
можно переписать в виде
Е = (с2/ш2) (к/+/к,)2 - 1 ' (4'42)
Но из соотношений (4.15) и (4.27) вытекает, что
-^-(kr + ik,)2 = x,. (4.43)
Следовательно, выражение (4.42) сводится просто к соотно-
шению
E = -^Y, E(jt,-1)=-J-,
хе - 1 4 е ' е0
т. е.
Х<,= 1+Тё7 (4.44)
в соответствии с (4.6).
Теперь необходимо выяснить, чему соответствуют остальные члены в
выражении (4.37), для которых Кл=?0. Мы покажем, что они
приводят к поправке Лорентца (когда она пра-
вильна). В общем случае эти дополнительные слагаемые описывают детальное
поведение вектора Герца в пространстве.
$ 3. Теория поляризации диэлектриков по Эвальду
12?
Чтобы получить электрическое поле во всем пространстве, следует
воспользоваться формулой (4.23). Затем надлежит найти поле в точке, где
находится один из диполей, вычитая из него бесконечное поле, с которым
