Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вектора Герца и выражений (4.24) получить плотности заряда и тока, либо с
помощью формул
(4.23) вычислить компоненты электрического и * магнитного
122 Гл. 4. Теория диэлектриков по Друде - Лорентцу и Эвальду
полей и показать, что они действительно имеют вид, характерный для
диполя. Если это проделать, то компоненты поля окажутся точно такими, как
в книге "Электромагнетизм" [гл. XII, формула (3.5)] компоненты
электрического и магнитного полей, окружающих колеблющийся диполь1). В
сферических координатах эти компоненты имеют вид
где & = со/с. Формулы (4.26) подробно обсуждаются в цитированной главе.
Из сравнения выражений (4.26) с формулой (4.25), содержащей столько же
информации, видно, насколько проще в таких задачах пользоваться вектором
Герца.
Далее допустим, что диполи расположены в узлах Rn = = "i/i + n2t2 + n3t3
решетки Бравэ и что их фазы соответствуют фазе плоской электромагнитной
волны в данном узле решетки. Принимая во внимание возможность поглощения
волны, мы должны считать волновой вектор комплексным. Поэтому вместо
того, чтобы представлять его в виде w/v, как это следует из
(4.14), мы будем записывать такую затухающую волну как
где kr и к* - соответственно вещественная и мнимая части волнового
вектора, а г - радиус-вектор. В % щ е "Электромагнетизм" (гл. X, § 7)1)
показано, что векторы кг к,- не обязательно имеют-одинаковое направление,
но для нашей цели можно не вдаваться в такие сложности.
Пусть, далее, в каждом узле решетки Rn находится диполь, для которого
вектор Герца определяется выражением (4.25), но с экспонентой и
знаменателем следующего вида:
Непосредственное суммирование таких выражений для бесконечного числа
диполей решетки было бы практически невыполнимой задачей. Эвальд, однако,
обошел ее следующим образом: он заметил, что вектор Герца Z,
рассматриваемый как функция пространственных координат, согласно (4.24),
удовлетворяет во всем пространстве волновому уравнению, имея син-
Е' = ш;ехр м ~krИcos 0 [ш+-&г\ >
ехр {/ [со/ - (kr + iki) • г]},
(4.27)
ехр {|[(0< - (kr + iki) ¦ R" - (to/c) | г - Rn | ]} Iг Rn |
(4.28)
¦) См. также [м] и § 72 в [16]. - Прим. ред.
§ 3. Теория поляризации диэлектриков по Эсальду
123
гулярности только в тех точках, где расположены диполи. Он знал, что по
теореме Флоке, о которой говорилось в т. 2 [1г] '), решение в таком
случае можно получить в виде плоской волны, умноженной на периодическую
функцию координат, повторяющуюся в каждой ячейке. Как известно, такую
периодическую функцию можно разложить в тройной ряд Фурье, в котором
волновые векторы - суть векторы обратной решетки:
Кл = 2л(й1Ь1 + й2Ь2 + йзЬз). (4.29)
Здесь bj, b2, b3 - базисные векторы обратной решетки. Иначе говоря, можно
ожидать, что вектор Z имеет вид
Z = 2 А (К) ехр {/ [ш* - (к, + /к() ¦ г - КА ¦ г]}, (4.30)
к
где А(К)-должным образом выбранные коэффициенты. В нашем случае, когда
вектор Z ориентирован параллельно всем диполям, векторы А(К) также будут
ориентированы в том же общем для всех направлении. Задача о вычислении
суммарного вектора Герца тем самым сводится к определению таких
коэффициентов А, чтобы выражение (4.30) удовлетворяло условиям
(4.24) для рассматриваемой решетки.
Мы видим, что все фазы были выбраны так, что если вектор Герца правильно
ведет себя около диполя в начале координат, то он будет правильным, и
около каждого узла решетки. Это ясно из того, что множитель -/Ка ¦ г,
конечно, повторяется для каждого узла решетки, а множитель -i(kr-Hk{) - г
меняется от узла к узлу так же, как фаза дипольных моментов в формуле
(4.28). Следовательно, мы получим правильное решение, если вектор Z из
(4.30) правильно ведет себя около диполя в начале координат. Чтобы
исследовать это поведение, заметим, что, поскольку плотность тока J'
составляет dP/dt, а плотность заряда р' равна -div Р, мы можем переписать
формулы (4.24) в следующем виде:
(4.31)
Вектор поляризации' Р в окрестности начала координат равен нулю всюду,
кроме самого начала координат, где он обращается в бесконечность, так что
интеграл от него по этой окрестности равен М ехр (/ш/). Соответствующего
поведения в начале координат следует ожидать и от вектора Z. Прежде
') См. также любое издание книги [1в] или решение задачи об электроне р
периодическом поле р любом курсе квантовой механики. - Прим. ред.
124 Гл. 4. Теория диэлектриков по Друде - Лорентцу и Эвальду
всего представим сам вектор поляризации в виде разложения типа (4.30).
Положим
Р = 2 В (К) ехр {/ [со/ - (k, + /к,) • г - К/, ¦ г]}, (4.32)
К
где выражение
2 В (К) ехр (-/КЛ-г) (4.33)
к
представляет собой функцию, которая равна нулю везде, кроме узлов решетки
R", но дает величину М после интегрирования по окрестности любой из этих
точек. Чтобы найти коэффициенты В (К), умножим (4.33) на величину,
комплексно сопряженную с одной из плоских волн, например на ехр (/Ка •
г), где Ка - один из векторов обратной решетки, и проинтегрируем по
элементарной ячейке прямой решетки. Эта ячейка содержит узел, находящийся
