Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
kDx = amxC, kay = $muC, к0г = у mzC, (3.51) где С - постоянная. Получим
klx + kly + klz = ("2< + + Y Ч2) C2*
= *тх + рт +fmg)C\ (3.52)
у
k2 k2 h2
R0x | Oy j K0
mx + + тг ~ '"¦* ' ? "l"
= (a2+ p2 + y2) C2 = C2.
m у
88
Гл. 13. Циклотронный резонанс и связанные с ним эффекты
Отсюда с помощью (3.52) для второго слагаемого в выражении
(3.46) (вклада дрейфовой скорости в кинетическую энергию) находим
& (klx , k0y , k0z \ Ь2 , 2 , "2 , д " г2
-2-\7^+^7+^7)-2 {ат' + РтУ + Y2"1*)&¦
Й2 а2тх + $2ту + y2mz ^ + kly + kl) = ^
п2'г I да-, z I
а ¦+¦ р ту -гут.
,2*2
2т
(3.53)
где величина т** определена соотношением (3.48). Таким образом, эту часть
выражения (3.47) мы проверили.
Обратимся теперь к циклотронной частоте и к определению циклотронной
массы т*. Пусть квазиимпульс складывается из постоянной величины, которую
мы только что рассмотрели, и части, зависящей от времени. В качестве
последней возьмем вектор, который вращается в k-пространстве, описывая
эллипс, получаемый пересечением поверхности энергии (3.43) с плоскостью,
соответствующей постоянной продольной компоненте квазиимпульса ро-
Очевидно, постоянная составляющая квази-импульса не дает вклада ни в одну
из частей уравнений (3.49). Поэтому их можно считать уравнениями для
зависящих от времени компонент квазиимпульса. Если бы все массы были
одинаковыми, mx = my=mz, то уравнения (3.49) перешли бы в урав-нения
движения свободного электрона в магнитном поле, уже решенные нами.
Способ, который мы применим, состоит в сведении уравнений (3.49) к этому
виду. Положим
k'
kx а' а
V тх ' т* V тутг '
ky Р' Р
Vmy ' т* V тгтг '
kz У' _ У
V тг ' т* V тхту
(3.54)
После такой замены уравнения (3.49) преобразуются к виду
Y'-W (3.55)
(аналогично для двух других компонент). Уравнения (3.55) имеют требуемый
вид (с эффективной массой т*), если только величины о/, р', у' можно
рассматривать как направляющие
§ 7. Общий случай периодического потенциала
89
косинусы. Последнее означает, что сумма квадратов этих величин должна
равняться единице. Тогда
1 а2тх + Ргту + угт2 ^ ^
{т'У = тхтутг l J
в согласии с определением (3.48). Тем самым завершается доказательство
правильности последних соотношений.
§ 7. Частота циклотронного резонанса для общего случая периодического
потенциала
В предыдущем параграфе мы обсудили частный случай эллипсоидальной
поверхности энергии. Важно рассмотреть циклотронную частоту и связанные с
ней задачи для произвольных поверхностей энергии. К счастью, для
вычисления циклотронной частоты в общем случае можно применить
квантовомеханический принцип соответствия. Прежде всего мы приведем
полученные выше результаты к виду, удобному для использования этого
принципа.
Чтобы применить принцип соответствия (см., например, [20]), необходимо
ввести переменные действия 1. Они представляют
собой интегралы, (j) pdq, входящие в условия квантования Зоммерфельда.
Энергия записывается как функция этих' переменных. В классической
механике показывается, что частоты и,-, характеризующие сложное
периодическое движение, определяются соотношениями
'¦--яг- е-57>
Если имеется только одна частота и одна переменная действия, то
If- <3-58>
Исследуем теперь это соотношение в применении к рассмотренному ранее
случаю.
Из формул (3.41) и (3.42) следует, что в случае орбит в магнитном поле мы
имеем
/ = ф р . d,T = еВ X Площадь орбиты в обычном пространстве =
Ъг
= -Цд- X Площадь орбиты в к-пространстве. (3.59)
Согласно формуле (3.46), полученной для эллипсоидальных поверхностей
энергии, та часть энергии, которая обусловлена квантованным движением,
имеет вид
Энергия = jh(r) = jhv = /v. (3.60)
90
Г л. 3. Циклотронный резонанс и связанные с ним эффекты
Другими словами, в этом случае так же, как и для линейного осциллятора,
существует линейная связь между энергией и переменной действия У, так что
производная dE/dJ, входящая в (3.58), есть постоянная величина v, не
зависящая от энергии или от амплитуды колебаний. Иначе говоря, в этом
предельном случае мы имеем фиксированную, не зависящую от энергии
циклотронную частоту (для данной ориентации магнитного поля).
Однако это специальный случай. В общем случае энергия будет зависеть от
У, или от площади орбиты в обычном или импульсном пространстве,
нелинейно. Следовательно, в общем случае циклотронная частота
определяется как
0 0 дЕ 2л дЕ
о = 2itv = 2л -jr = s~ X
д] В д (площадь в обычном пространстве)
_ 2леВ __________________дЕ________________ /3 gj-v
h2 д (площадь в k-пространстве) ' ' '
Другими словами, циклотронная частота будет зависеть от энергии, а
измерение этой зависимости позволит непосредственным экспериментальным
путем определить, как зависит от энергии площадь орбиты в обычном или
импульсном пространстве в плоскости, перпендикулярной магнитному полю.
§ 8. Ограничения и возможности расширения метода циклотронного резонанса
Теперь, исследовав математические аспекты движения волновых пакетов в
магнитном и периодическом полях, мы можем вернуться к рассмотрению
