Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
для него циклотронную частоту.
§ 6. Эллипсоидальные поверхности энергии
85
Положим
(3.43)
где за нулевую энергию принято положение дна зоны проводимости, а
координатные оси направлены вдоль главных осей эллипсоида. Последние
могут оказаться и повернутыми относительно кристаллических осей, которыми
естественно воспользоваться, рассматривая свойства симметрии кристалла.
Ориентацию магнитного поля будем считать произвольной.
Вспомним, что площадь треугольника, образованного векторами к - к0 и d(k
- к0), составляет _1/2[(к - ко) Xd(k - к0)] и что, интегрируя это
выражение по всей орбите, мы получаем площадь орбиты в к-пространстве.
Согласно уравнению (3.33), hd(к - к0)/dt = -e(v X В). Таким образом,
Y [(к - к0) X -(kdrko-)-] = - [(к - к0) X (v X В)] =
= " ifi <v № - ко) ¦ В] - В [(к - ко) • V]}, (3.44)
где использовано известное векторное тождество. Поскольку вектор (к - к0)
перпендикулярен В, первое слагаемое в правой части обращается в нуль и
уравнение (3.44) принимает вид
Мы здесь использовали соотношение (2.3): v= (1/S)gradft?.
Проинтегрируем теперь уравнение (3.45) по времени за период. При этом в
левой части мы получим площадь орбиты в к-пространстве. Первый постоянный
член в правой части, eBE/h умножится на период 2я/со, где ш -
циклотронная частота. Остальные члены справа зависят от времени и потому
заменяются своими средними значениями, умноженными на 2я/ш. Заметим, что
k0 есть среднее по времени значение k. Следовательно, разрешая полученное
выражение относительно энергии, мы имеем
4- [(к ~ ко) X d (kdfk°l] - 4 [(к - к0) ¦ v] =
Е = 2пев ^ Площадь орбиты в к-пространстве -(-
86
Г л. 3. Циклотронный резонанс и связанные с ним эффекты
где использовано равенство (3.42). Первый член в правой части (3.46)
представляет собой квантованную энергию, обусловленную движением в
плоскости, перпендикулярной магнитному полю; остальные члены описывают
кинетическую энергию Движения вдоль направления В.
Рассматривая уравнение (3.46), следует отметить в первую очередь, что
энергия связана с циклотронной частотой соотношением вида (3.8), т. е.
так же, как и в использованном Ландау случае свободных электронов.
Угловая частота со здесь, как и раньше, есть циклотронная частота, j -
квантовое число, но, поскольку мы использовали не волновую механику, а
условие квантования Зоммерфельда, мы не получили полуцелого квантового
числа, соответствующего величине (п + '/г) в (3.8); в выражение (3.46)
следовало бы внести соответствующее изменение. Далее, по аналогии с (3.1)
мы можем эффективную массу пг*, связанную с циклотронной частотой для
произвольной, ориентации магнитного поля, определить выражением со =
еВ/т*. Можно также ввести вторую эффективную массу т**, определив ее так,
чтобы последние члены в выражении для энергии
(3.46), обусловленные дрейфовой скоростью, могли быть записаны в виде
h2k2/2m". С помощью этих двух эффективных масс равенство (3.46) можно
переписать в виде
квантовое число / здесь следовало бы заменить на (/ + V2), учитывая, что
волновая механика дает полуцелые квантовые числа.
Следующая задача состоит в том, чтобы найти зависимость эффективных масс
т* и т** от направления магнитного поля. Пусть направляющие косинусы
магнитного поля суть а, (3 и у. Тогда, как мы покажем, эти эффективные
массы определяются выражениями')
Для вывода этих формул запишем прежде всего уравнения движения в к-
пространстве (3.34), представляя в них скорость
а2тх + (52mv + угтг '
(3.48)
') Вывод формулы для т* и ее применение к задаче о циклотронном резонансе
см. в работе Шокли [6].
§ 6. Эллипсоидальные поверхности энергии
87
v = (1/A)gradk?, где Е определяется соотношением (3.43). Имеем
dk.
dt
dk
~dt
dkz
Z = -eB(±a-±-y), (3.49)
= -ев(- p- - a).
dt \mx my I
Рассмотрим случай, когда квазиимпульс постоянен, т. е. эллиптическое
движение отсутствует, так что площадь орбиты в к-пространстве, входящая в
(3.46), равна нулю. Чтобы квазиимпульс не зависел от времени, правая
часть каждого из уравнений
(3.49) должна быть равна нулю. Очевидно, это будет выполняться при
условии
kax . kay йог . "
- ¦ - . - = a . р . у. (3.50)
m х тпу шг г • ' •
Отсюда следует, что постоянный квазиимпульс не параллелен магнитному
полю; в противном случае в отношении а : р : у находились бы сами
компоненты k0x, k0y, к0г, а не величины k0Jmx, kay/triy и k0z/mz. Причина
этого проста. В случае эллипсоидальной поверхности энергии, определяемой
формулой (3.43), скорость, вообще говоря, не параллельна квазиимпульсу.
Скорость,
которая определяется выражением v=(l/fi)gradk Е, имеет
компоненты 1ikaJmx, bkay/my, fikaz/mz. Согласно (3.50), эти компоненты
находятся в отношении а: р : у, так что именно скорость, а не
квазиимпульс параллельна вектору В, как того и требует условие обращения
в нуль векторного произведения (VXB) при постоянном квазиимпульсе.
Величина скорости составляет Ька/т **.
Попробуем удовлетворить условиям (3.50), полагая
