Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Применим выводы предыдущего параграфа к случаю, когда электрон движется в
поле периодического потенциала и в постоянном магнитном поле. Будем
исходить из уравнения (2.5), записав его в виде
i-J = -e[E + (vXB)]. (3.33)
Это соотношение означает, что скорость изменения величины fik со временем
определяется классической силой, действующей на электрон. Вспомним, что
именно это равенство дает и ускорение волнового пакета. В данном случае
электрическое поле отсутствует, так что мы можем переписать уравнение
(3.33) в виде
е-§---е(?хв)' <3-34>
где скорость волнового пакета v заменена на dr/dt, а г есть ра* диус-
вектор волнового пакета. Поскольку вектор индукции В постоянен, уравнение
(3.34) можно проинтегрировать по времени. Получим
fik => - е [(г - г0) X В] X fik0. (3.35)
Здесь г0 и ко - постоянные интегрирования, смысл которых мы сейчас
исследуем.
Величина fik0 есть постоянная компонента квазиимпульса. Величина г0 имеет
ту же компоненту вдоль направления В, что и г, так что разность (г - Го)
перпендикулярна В. Компонента г0,
§ 5. Теорема Онзагера для периодического потенциала
83
перпендикулярная В, произвольна по величине, но не зависит от времени,
позволяя центру орбиты находиться в любой точке пространства. Мы видим,
что вектор скорости dr0/dt параллелен В и не дает вклада в dk/dt< Это
есть дрейфовая скорость электрона вдоль направления поля, ответственная
за установление геликоидального движения. Вектор же (г - г0) дает именно
ту проекцию орбиты на плоскость, перпендикулярную полю, которая нужна для
применения теоремы Онзагера.
Из равенства (3.35) видно, что вектор й(к- к0) (компонента радиуса-
вектора в пространстве квазиимпульсов, перпендикулярная магнитному полю)
перпендикулярен и вектору (г - -г0) - проекции радиуса-вектора в обычном
пространстве на плоскость, перпендикулярную магнитному полю. Отсюда
непосредственно следует, что орбита волнового пакета в к-простран-стве
подобна проекции орбиты в обычном пространстве на плоскость,
перпендикулярную магнитному полю, но повернута на 90° вокруг направления
магнитного поля; площади орбит связаны соотношением
е2В2
Площадь орбиты в k-пространстве = X
X Площадь проекции орбиты в обычном пространстве. (3.36)
Вычислим теперь интеграл (j) р • dr, который, как мы видели
в предыдущем параграфе, должен быть равен /А, где / - квантовое число.
Интеграл следует взять вдоль проекции орбиты на плоскость,
перпендикулярную магнитному полю. Согласно приложению 1,
йк = р + еА. (3.37)
Следовательно, необходимо найти интеграл (j) (йк - еА) • dr.
Согласно (3.35), йк = -е[(г - г0) X В] + йк0.. Во втором слагаемом под
знаком интеграла вектор-потенциал вида Ах = уВ/2, Ау = хВ/2, Аг = 0 [см.
(3.11)] можно заменить на
А =- (Г~ У** . еА = - |- [(г - г0) X В]. (3.38)
Это выражение отличается от прежнего на постоянный вектор (г0 X В)/2, не
меняющий значения магнитной индукции. Выражение (3.38) позволяет
рассматривать магнитное поле, ориентированное в любом направлении, а не
только вдоль оси г. Таким образом, подынтегральное выражение йк - еА
принимает вид йк0-(е/2)[(г - г0) X В] (поскольку слагаемое еА составляет
половину члена, содержащегося в йк). Величина йк0 не дает
6*
84
Г л. 3. Циклотронный резонанс и связанные с ним эффекты
вклада в интеграл, так как вектор ко перпендикулярен dr. Следовательно,
ф р ¦ dr = [(г - г0) X В] ¦ d(r-r0). (3.39)
Согласно известному соотношению векторной алгебры, это выражение можно
переписать в виде
(j) р ¦ dr =уВ ¦ ? [(г - г0) X d(r-r0)]. (3.40)
Интеграл '/г ^[(г - го) X d(г - г0)] равен по веллчнне площади
проекции орбиты в обычном пространстве на плоскость, перпендикулярную
магнитному полю. Действительно, как известно из векторной алгебры,
величина '/2[(г - r0)Xd(r - г0)] есть площадь треугольника, образованного
векторами г - г0 и d(г - Го); сумма площадей всех таких треугольников как
раз и составляет площадь орбиты. Величина '/2^ [(г - Го) X d(г - г0)]есть
вектор, перпендикулярный плоскости орбиты и потому параллельный В.
Поэтому скалярное произведение в (3.40) равно простому произведению В на
площадь орбиты. Следовательно,
Ф Р ¦ * jh
Площадь орбиты в обычном пространстве = -^еВ' (^-41)
где мы положили фазовый интеграл (j) р ¦ dr равным jh, как и
в случае свободных электронов. Выражение (3.41) есть обобщение (3.32) на
случай движения электронов в поле периодического потенциала,
подтверждающее универсальный характер теоремы Онзагера.
С помощью (3.36) можно придать выражению (3.41) вид, содержащий площадь
орбиты в k-пространстве. Получим
Площадь орбиты в к-пространстве = j (3.42)
где, как всегда, / есть целое число. Из дальнейшего будет видно, что это
соотношение имеет фундаментальное значение для эффекта де Гааза - ван
Альфена.
§ 6. Циклотронная частота в случае эллипсоидальных поверхностей энергии
Обратимся теперь к случаю, когда поверхности энергии в к-пространстве
могут быть аппроксимированы квадратичным выражением типа (2.11), и найдем
