Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
окружностями, соответствующими двум последовательным значениям целого
числа /. Степень вырождения состояний с данной энергией, конечно, должна
быть такой же, как и в методе Ландау. Таким образом, как и раньше, мы
находим число вырожденных уровней, определяя, сколько раз площадь h/eB
укладывается в поперечном сечении ящика.
§ 4. Связь теоремы Онзагера с условием квантования
Рассматривая соотношение (3.27), мы уже упоминали о фундаментальной роли
теоремы Онзагера, утверждающей, что величина магнитного потока через
орбиту составляет jh/e, где j есть квантовое число. Эта теорема остается
справедливой и для электронов, находящихся под действием периодического
потенциала. Рассматривая ее более подробно, покажем прежде всего, что для
свободных электронов существует тесная связь между соотношением (3.27) и
условием квантования Зоммерфельда.
Фактически мы найдем, что интеграл (j) р • dr, взятый по орбите,
равен jh и что это соотношение эквивалентно (3.27).
Рассматривая это соотношение, следует помнить, что связь между импульсом
и скоростью в присутствии магнитного поля не так проста, как в отсутствие
его. Согласно одному из уравнений Гамильтона, мы имеем
^ = (3.28)
dt х дрх m v '
(аналогично - для vy и vz). Рассмотрим классическое движение по
окружности радиуса R с центром в начале координат. Имеем x=R cosat, y = R
sin at, vx=dx/dt =-coflsincof, vy=aR cos at. Далее, Ax =-yB/2 = - (RB/2)
sin at, Ay=xB/2 = (RB/2) cos at. Следовательно,
px = mvx - eAx = | - maR + sin at =
= ( - eRB + sin at - sin at,
py = mvu - eAy = {^maR -cos at =
= {eRB - ] cos at = cos ai-
Используем теперь эти результаты для вычисления интеграла (j) р • dr =
(j) р ¦ vdf. Последний представляет собой сумму
величин (j) рх dx и (j) ру dy, следует ожидать, что он квантован
(3.29)
8 4. Связь теоремы Онзагера с условием квантования
81
в соответствии с правилом Зоммерфельда (причину этого мы рассмотрим
позже). Имеем
р • v = pxvx + pyVy = aR (sin2 art + cos2 art) = . (3.30)
Поскольку эта величина - постоянная, интеграл от нее по t за время
полного цикла равен ее значению, умноженному на период вращения 2л/и.
Таким образом,
| p-dr = -^^--|^ = nfl2efi. (3.31)
Полагая этот интеграл равным jh, получаем
= w <3-32)
в согласии с (3.21).
Можно было бы спросить: почему, собственно, должно выполняться условие
квантования Зоммерфельда в таком виде? Для ответа вспомним, в чем состоит
фундаментальный смысл этого соотношения: оно утверждает, что на орбите
должно укладываться целое число длин волн. Согласно соотношению де
Бройля, импульс равен h/X, где X - длина волны. Следовательно, интеграл ^
р ¦ dr есть не чтц иное, как умноженное на h
число длин волн, укладывающихся на орбите. Отсюда сразу следует условие
квантования. Это соотношение справедливо как в магнитном поле, так и без
него. Независимо от того, имеется или нет магнитное поле, мы заменяем
импульс р оператором -ifiV. Если теперь волновая функция имеет вид exp
(2nix/X), где х - расстояние вдоль орбиты, то оператор р в применении к
ней воспроизводит ту же функцию, умноженную на h/X. Этот результат не
зависит от наличия или отсутствия магнитного поля. В данном случае
квантовое число j измеряет число длин волн, укладывающихся на окружности.
Это сразу явствует из вида волновой функции в цилиндрических координатах:
последняя, как мы получили, зависит от угла ф через экспоненту ехр(//ф),
показывающую, что при увеличении угла ф на 2л волновая функция проходит j
периодов гармонических колебаний.
Теперь, уяснив себе фундаментальное значение соотношения Онзагера, мы
можем ожидать, что оно окажется справедливым и в случаях более общих, чем
задача о свободном электроне. Фактически дело именно так и обстоит, и
использование этого соотношения дает нам ключ к приближенному
рассмотрению электронов, находящихся в поле периодического потенциала и в
магнитном поле. Точное решение уравнения Шредингера
5 Дж. Слэтер
82
Гл. 3. Циклотронный резонанс и связанные с ним эффекты
в этом случае в отличие от задачи о свободном электроне чрезвычайно
сложно, и мы не будем даже пытаться его рассматривать. Однако
использование условия квантования Зоммерфельда проходит здесь так же
просто, как и для свободных электронов. Результаты, которые при этом
получаются, для большинства целей достаточны и так же точны, как и обычно
при таком подходе. Действительно, условие Зоммерфельда может дать нам
информацию об энергетических уровнях, правиль-ную с точностью до одной
возможной неоднозначности; остается неясным, следует ли использовать
целое или полуцелое число h или условие квантования точно не выполняется
вообще ни с целым, ни с полуцелым числом h. Можно ожидать, что ошибка не
превышает указанной, и этого оказывается достаточно, чтобы получить много
ценных результатов относительно движения электронов в поле периодического
потенциала и в магнитном поле. Эта задача рассматривается в следующем
параграфе.
§ 5. Теорема Онзагера для периодического потенциала
