Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
аппроксимация линейного осциллятора для решения уравнения (3.15) дает
точные значения энергетических уровней, но только приближенно верные
волновые функции. Однако в пределе больших г или больших / волновые
функции также близки к точным предельным значениям.
Волновая функция, которую мы получили для п = 0, соответствует круговой
орбите классического движения электрона в магнитном поле. Мы отметили,
что энергия электрона составляет (/ + 1/2) Лео + (fefb2/2m), а площадь
орбиты равна jh/eB. Соотношение между этими двумя величинами согласуется
с классическим, если пренебречь аддитивной константой '/г- Действительно,
в§ 1 мы нашли, что энергия Е связана с радиусом орбиты R равенством
Е=пш№' (32б)
В этом выражении энергия к1ь2/2т поступательного движения вдоль оси г
была опущена. Заменяя энергию величиной /Лео, а площадь я/?2 величиной
jfi/eB и вспоминая определение частоты со, видим, что эти величины
удовлетворяют соотношению (3.26).
Волновые функции для п ф 0 не соответствуют круговым орбитам, окружающим
начало координат. Здесь следует вспомнить о высокой степени вырождения,
на которую указывалось ранее. Эти волновые функции в отличие от круговой
орбиты при п = 0 не соответствуют непосредственно классическим орбитам.
Они составляют скорее большое число вырожденных функций, из которых можно
было бы построить линейные комбинации, соответствующие круговым орбитам с
центрами, расположенными не в начале координат, а в других точках. Прямая
связь с классической круговой орбитой имеется только в случае п = 0.
Можно спросить: почему предпочтительно выбрать именно рассмотренный выше
тип решений? Если мы составим волновой пакет из функций, отвечающих
приблизительно данной энергии, то он будет вращаться по соответствующей
окружности в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, с циклотронной
частотой так, как двигалась бы классическая частица, независимо от того,
какого типа функциями мы пользуемся. Можно было бы, например,,
использовать и функции Ландау. При этом, однако, построение волнового
пакета оказалось бы довольно сложным, и мы не смогли бы интуитивно
предсказать ожидаемый результат. В случае же цилиндрического решения,
напротив, уже одна функция для данного /, соответствующая /2 = 0, дает
очень хорошее первое приближение для волнового пакета
S 3. Свободный электрон в магнитном поле. Цилиндрические координаты 79
кругового типа. Она уже локализована, если говорить только о радиусе.
Чтобы локализовать ее в направлении г, следует взять суперпозицию таких
волн с различными, но близко расположенными значениями kz\ взяв волны с
различными, но близлежащими значениями /, мы получим состояние,
локализованное относительно угла ср. Последнее необходимо, чтобы получить
волновой пакет, относительно сконцентрированный по фазе, так, чтобы
внешнее электрическое поле частоты ы могло резонировать с ним и вызвать
поглощение энергии пакетом. Чтобы получить желаемый волновой пакет, мы
должны были бы также обычным образом использовать суперпозицию волн со
значениями п, близкими к нулю. Но в результате мы получили бы нечто очень
похожее на пакет, вращающийся вокруг круговой волновой функции, даваемой
нашим решением при п = 0. Другими словами, эта форма решения удобна
потому, что она дает хорошую физическую картину волновой функции,
соответствующей классической круговой орбите, так же, как для атома
водорода волновая функция с нулевым значением радиального квантового
числа подобна классической круговой боровской орбите.
Теперь, когда мы получили волновые функции для круговых орбит, отметим
один очень интересный факт, на который указал Онзагер [5]: как видно из
(3.21), площади круговых орбит квантованы, они содержат целое число
фундаментальных единиц h/eB. Это утверждение, конечно, нельзя понимать
абсолютно строго, так как не существует строгого способа определения
радиуса волновой функции, но если определить его как радиус, на котором
волновая функция принимает максимальное значение, что мы сделали при
выводе равенства (3.21), то высказанное утверждение будет справедливо.
Онзагер формулирует этот результат несколько иначе. Он замечает, что
поток магнитной индукции через орбиту равен охватываемой ею площади,
умноженной на величину магнитной индукции (коль скоро вектор индукции
нормален к плоскости орбиты). Следовательно, согласно
(3.21), этот поток, равный лг2В, составляет jh/e, т. е.
Магнитный поток через орбиту = ~. (3.27)
Эта теорема Онзагера, как мы увидим в следующем параграфе, оказывается
очень важной, поскольку она справедлива как для электронов в свободном
пространстве, так и для электронов, движущихся в периодическом поле. Это
- фундаментальное свойство электронных орбит в магнитном поле.
В случае круговых орбит с площадью, определяемой выражением (3.21),
вполне можно приписать каждой орбите площадь h/eB, т. е. площадь кольца,
заключенного между двумя
80
Гл. 3. Циклотронный резонанс и связанные с ним эффекты
