Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
этот метод был применен позднее Динглом [4]. Его изложение содержится в
приложении 3. В результате получаютря следующие собственные функции:
R = rJexр(- -^/-2)[в0+ В, -2^р-+
+ в2("?*)2+ ... +ВЛ(^-)Л], (3.16)
где п - целое число и
D D _____________4 (fl + 1 s)____ /п . у\
as п,-, (у + 2s - 1) (/ + 2s + 1) - (/_ 1) (/ + I) ¦
Собственные значения определяются выражением
/ 1 \ ehB кЬ?
E=(n + i + T)- + ±т- (ЗЛ8>
Энергия, которую мы нашли, согласуется со значением (3.8), если целое
число п + у отождествить с целым числом п из (3.8). Волновые функции,
однако, имеют другой вид. Из общих принципов известно, что любую волновую
функцию, соответствующую данной энергии, можно представить как линейную
комбинацию функций, принадлежащих той же энергии и определенных по методу
Ландау, но эта комбинация может быть чрезвычайно сложной. Настоящий метод
избавляет от необходимости явно ее определять.
76
Гл. S. Циклотронный резонанс и связанные с ним эффекты
Рассмотрим теперь основные черты полученного решения. Зависимость от угла
ср, как и в любой задаче с цилиндрической симметрией, задается множителем
exp (i/cp). Радиальная волновая функция R имеет узлы, так как содержит
полином; всего имеется п узлов. Так же, как в задаче об атоме водорода,
классической круговой орбите соответствует волновая функция, для которой
радиальное квантовое число п равно нулю. Другими словами, для круговой
орбиты имеем
R = г} ехр (- г2). (3.19)
Эта функция обладает резким максимумом при некотором значении г, вблизи
этого максимума ее можно приближенно представить в виде функции Гаусса.
Для этой цели нужно, как обычно, разложить In R в степенной ряд около
точки максимума. Получаем
In /? = / In /"
пеВ л
т
2 Л
d1 In R j пеВ
dr3 г1 h ¦
Первая производная d In R/dr обращается в нуль, если
(3.21)
Это означает, что площадь орбиты (если понимать под орбитой окружность
радиуса г, на которой волновая функция имеет максимум) содержит /
фундаментальных единиц h/eB, введенных в предыдущем параграфе. Для этого
значения г вторая производная есть -2лeB/h. Следовательно, мы можем
записать первые члены разложения In R в ряд Тэйлора в виде
In7? = const(г-]/^) + ... . (3.22)
Взяв экспоненту от этой величины, приближенно получаем
Я = ехр[-^-(г-|/-^-)]х const. (3.23)
Это есть функция Гаусса с максимумом в точке г, определенной равенством
(3.21).
Функция (3.23) приближенно совпадает с истинной волновой функцией при п =
0. Она была бы точной волновой функцией основного состояния линейного
осциллятора, потенциальная
§ 3. Свободный электрон в магнитном поле. Цилиндрические координаты 77
энергия которого имеет минимум при г = Yjh/neB, а угловая частота равна
циклотронной частоте. Действительно, волновая функция, описывающая
состояние осциллятора, имеет вид ехр[-(ятсо/Л)*2], где х - смещение, m -
масса, со - угловая частота. Это выражение совпадет с (3.23), если
положить о = = еВ/т. Почему мы имеем такую связь, можно понять,
рассматривая уравнение (3.15) в предельном случае больших значений
квантового числа /.
Именно в пределе больших / волновая функция будет сконцентрирована вблизи
окружности, радиус которой определен равенством (3.21) и, следовательно,
велик. В этом пределе в уравнении (3.15) можно пренебречь членом (\/r)
(dR/dr) по сравнению с членом d2R/dr2. Далее, эффективную потенциальную
энергию
w+eS-r2 (3-24>
можно разложить в степенной ряд в окрестности минимума; с точностью до
членов второго порядка получим
ebjB .1 е1В1 I f jh \2 п oq.
\Г~У -ш) • (з-25)
С точностью до аддитивного члена ebjB/2m это есть потенциальная энергия
линейного осциллятора с угловой частотой о)=еВ/т и центром при г =
Yjh/пеВ. Поэтому вполне естественно, что волновая функция основного
состояния должна отвечать такому осциллятору. Более того, энергия
основного состояния осциллятора дает правильное значение энергии для
нашей задачи. Из уравнения (3.15) следует, что энергия Е равна (ebjB/2m)
+ + (k\b2j2m) плюс энергия линейного осциллятора. Последняя вносит
дополнительный член ebjB/2m, добавляющийся к аналогичному члену1 уже
присутствующему, и энергию основного состояния осциллятора В
результате мы получаем для
энергии величину(/ + 1/2) йса + {k2zh2[2m), чего и следовало ожидать.
Решение задачи об осцилляторе дает не только состояние радиальной задачи
с п = 0, но и возбужденные состояния. Из. выражения (3.16) видно, что
состояния с п Ф 0 описываются функциями, которые можно аппроксимировать
гауссовой функцией
(3.23), умноженной на полиномы степени п. Такой же вид имеет и волновая
функция линейного осциллятора, отвечающая квантовому числу п. Более того,
исследование полиномов в выражении (3.16) и сравнение их с полиномами,
получающимися в задаче о линейном осцилляторе, показывают, что' в пределе
больших / они совпадают. Энергия линейного осциллятора,
78
Г л. 3. Циклотронный резонанс и связанные с ним эффекты
разумеется, точно приводит к выражению (3.18). Иначе говоря,
