Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слэтер Дж. -> "Диэлектрики полупроводники, металлы" -> 33

Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.

Слэтер Дж. Диэлектрики полупроводники, металлы — М.: Мир, 1969. — 648 c.
Скачать (прямая ссылка): diaelektrikipoluprovodnikov1969.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 313 >> Следующая

~2т ^-------~ф + = (3.3)
*) Особое внимание в работе ['] следует обратить на фиг 5, где показаны
три циклотронные частоты, вырождающиеся в две в направлении [111] и в
одну - в направлении [100].
g 2. Свободный электрон в магнитном поле. Метод Ландау
73
Здесь Е - энергия электрона. Будем считать, что постоянное магнитное поле
В направлено вдоль оси г. Векторный потенциал этого поля можно определить
по-разному. Имея в виду соответствие с работой Ландау, положим
Ах = Аг = 0, Ау = Вх. (3.4)
Это приводит к правильной величине магнитной индукции, определяемой
соотношением В = rot А. Подставляя (3.4) в (3.3), получаем уравнение
Шредингера в следующем виде:
Ь2 пг ь ie^B (И . е2В1 21. сч. " "
_ ~2т ^ т~Х ~ёу 2гп ^= (3'5)
Это уравнение можно решить, полагая
= X(x)exp[i(kyy +kzz)\. (3.6)
Подставляя полученное выражение в уравнение (3.5), находим fi2 d2X ё*В2 I
kuh\ ( klb2 \
-2^ч^+^г(х+~ж)х=[е-±г)х- <3-7>
Мы получили уравнение Шредингера для гармонического осциллятора, угловая
частота которого со, как и в равенстве (3.1), определяется выражением
еВ]т. Поэтому для энергии имеем
E=.(/.+i)ta>+4?-, (3.8)
где п - квантовое число. Функции ^(х) -обычные решения задачи о линейном
осцилляторе, но зависящие от аргумента x+kybjeB, так что для данного ky
центр функции Х(х) находится не в начале координат, а в точке -kybjeB.
Мы видим, что в магнитном поле движение в плоскости ху квантовано.
Соответствующие уровни называются уровнями Ландау. Они тесно связаны с
циклотронной частотой, определяемой в опытах по циклотронному резонансу.
В рамках квантовомеханического подхода мы можем ожидать, что поле
излучения с круговой частотой ш вызовет переходы между состояниями с
различными значениями квантового числа п. Поскольку мы рассматриваем
задачу типа линейного осциллятора, то действует правило отбора,
ограничивающее изменения п значениями ±1. Следовательно, испущенные или
поглощенные фотоны будут иметь энергии йш, так что угловая частота
испускаемого или поглощаемого излучения будет равна и в согласии с
классическим объяснением циклотронного резонанса.
Энергия электрона не зависит от квантового числа kv, что приводит к
многократному вырождению уровней. Чтобы найти
74
Гл. 3. Циклотронный резонанс и связанные с ним эффекты
число вырожденных уровней, поместим электрон в прямоугольный ящик с
размерами Хи Уь Z\ вдоль трех координатных осей и воспользуемся
периодическими граничными условиями (вместо нулевых). Тогда величина kv
будет принимать значения, для которых exp iky Уi = l, т. е.
ky = -у- X Целое число. (3.9)
Следовательно, величина kyhfeB принимает значения h/eBYiX X целое число.
Это те значения х, которые могут быть центрами функций X. На длине
периодичности Х\ число разрешенных значений х равно отношению величины Х\
к расстоянию между этими значениями, т. е.
X Y
Число вырожденных уровней = ¦. (3.10)
Другими словами, мы можем расположить параллельно оси у прямоугольные
полоски шириной Л/еВУ4 в направлении х и длиной У1 в направлении у, так
что площадь каждой полоски равна hjeB. Каждый уровень как бы
приписывается одной из таких полосок. Число вырожденных уровней равно
числу полосок, которые можно разместить на площади X\Y\ поперечного
сечения ящика в плоскости, перпендикулярной магнитному полю.
Рассмотрение, которое мы, следуя методу Ландау, здесь привели, совершенно
правильно, но оно не выявляет очевидной связи с круговыми орбитами, о
которых мы говорили в гл. 3, § 1. Вследствие высокой степени вырождения
мы можем составлять линейные комбинации функций, принадлежащих одной и
той же энергии (т. е. одинаковым значениям квантовых чисел п и kz),
получая при этом много альтернативных видов решений. В следующем
параграфе мы покажем, что, пользуясь цилиндрическими координатами, можно
более непосредственно прийти к картине круговых орбит.
§ 3. Задача о движении свободного электрона в магнитном поле.
Цилиндрические координаты
Перейдем от прямоугольных координат (использованных в предыдущем
параграфе) к цилиндрическим, г, ф, г. При этом удобнее записать векторный
потенциал в виде
Ax=~jyB, Ау = ~хВ, Аг = 0. (3.11)
Формулы (3.11) приводят к тому же значению магнитного поля, что и
векторный потенциал (3.4). Подставляя (3.11) в уравне-
§ 3. Свободный электрон в магнитном поле. Цилиндрические координаты 75
ние Шредингера (3.3), получаем
" -fer У^ + х^Ъ + ^^ + У2)'(З-12)
или в цилиндрических координатах
й2 (д2ф , 1 дф , 1 д2ф , д2ф \ iehB dty . е2В2
,
2m \ dr2 ' г дг г2 dq>2 ' дг2 ) 2m дф 8m Г ^ -
(3.13)
Теперь мы можем искать решение в виде
ф = R (г) ехр (гуф) exp (ikzz), (3.14)
где у, как всегда в задачах с цилиндрической симметрией, должно быть
целым числом. Подставляя это выражение в уравнение (3.13), получаем
Й2 / А? 1 dR у2 \ е2В2 ( eh]В k2h2\
Чтобы решить это уравнение, воспользуемся методом, предложенным Фоком [3]
для решения задачи о линейном осцилляторе в магнитном поле (она
приводится к уравнению Шредингера того же вида). К рассматриваемой задаче
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 313 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed