Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
эквивалентных [111]; вследствие симметрии относительно этой оси легко
показать, что две другие оси эллипсоида должны быть эквивалентными (в
действительности это малые оси эллипсоидов). Таким образом, эллипсоиды
были бы сигарообразными; центры их должны были бы находиться в точках L
пространства квазиимпульсов. Наложим теперь магнитное поле в направлении
оси х. Тогда поверхность, перпендикулярная магнитному полю, пересечет
восемь эллипсоидов по четырем эллиптическим кривым, как показано на фиг.
3.1, а. Эти эллипсы будут расположены вдоль четырех направлений,
составляющих с главными осями угол 45°. Вследствие одинаковой формы
эллипсов время обхода волновым пакетом каждого из них должно быть одним и
тем же. Таким образом, магнитному полю, направленному по оси х, будет
отвечать единственная циклотронная частота. С другой стороны, в случае
поля, ориентированного по направлению [111] (х = у = г), картина будет
совершенно иной. Как видно из фиг. 3.1, б, мы будем смотреть вдоль
большей оси двух эллипсоидов, которые ориентированы по направлениям [111]
и [-1 - - 1 - 1], в то время как остальные шесть эллипсоидов будут
ориентированы по шести направлениям, составляющим между собой углы 60°.
Эти шесть эллипсоидов будут пересекаться плоскостями, перпендикулярными
магнитному полю, по эллипсам, в то время как два первых будут
пересекаться по окружностям. Эллипсы будут соответствовать одной
циклотронной частоте, окружности- другой. Таким образом, для магнитного
поля, на-
S 1- Качественное описание природы циклотронного резонанса
71
правленного вдоль оси [III], мы должны найти две циклотронные частоты.
Рассмотрим теперь альтернативную ситуацию, при которой минимум энергии в
зоне проводимости лежит на оси Д. При этом
Фиг. 3.1. Схема, иллюстрирующая циклотронный резонанс для электронов на
дне зоны проводимости в германии. Эллнпсы соответствуют пересечениям
плоскости, перпендикулярной магннт-
а - магнитное поле направлено вдоль оси х, главные оси эллипсоидальных
поверхностей энергии ориентированы вдоль направлений [111]; б -магнитное
поле направлено вдоль оси [111]; поверхности энергии такие же, как в а;
в, г- магнитное поле направлено вдоль оси х и вдоль направления [111]
соответственно, а главные оси эллипсоидальных поверхностей энергии -
вдоль
изоэнергетическая поверхность вблизи минимума будет представлять собой
совокупность шести эллипсоидов - опять сигарообразных, но с осями вдоль
направлений ±х, ±у, ±г. Если в этом случае магнитное поле направить по
оси х, то пересечение плоскости, перпендикулярной полю, с поверхностью
энергии даст окружности для двух эллипсоидов, лежащих на направлениях ±х,
в то же время для остальных четырех эллипсоидов, как показано на фиг.
3.1, а, мы получим четыре эллипса, расположенных под углом 90° друг
относительно друга. Следовательно, в этом случае мы должны обнаружить две
циклотронные
в
е
ному полю, с эллипсоидальными поверхностями энергии.
осей ± х, ± у, ± Z.
72
Гл. 3. Циклотронный резонанс и связанные с ним эффекты
частоты. Для магнитного поля, направленного вдоль оси [111], напротив, мы
увидим только три эллипса одинакового вида, образующие между собой углы
120°, как показано на фиг. 3.1, г. Следовательно, в этом случае мы должны
обнаружить только одну циклотронную частоту. Таким образом, две
рассмотренные ситуации приводят к прямо противоположным выводам.
Эксперимент I1]1) решил -вопрос в пользу первой гипотезы. Более того,
путем весьма тщательного изучения циклотронной частоты в зависимости от
ориентации магнитного поля, и путем детального развития теории, описанной
здесь в общих чертах, было выяснено, что можно получить очень хорошее
согласие теории с опытом и найти из опыта значения эффективных масс в
различных направлениях. В конкретном случае германия мы имеем две
эффективные массы: одну для оси [111] (одной из главных осей эллипсоида),
другую - для любой из двух осей, перпендикулярных [111].
§ 2. Задача о движении свободного электрона в магнитном поле. Метод
Ландау
Из простых- рассуждений предыдущего параграфа мы видели, что опыты по
магнитному резонансу позволяют получить подробную информацию относительно
энергетических зон. Перейдем теперь к количественному изучению этих
вопросов. В качестве первого шага следует рассмотреть теорию движения
электронов в магнитном поле, сначала для свободных электронов, затем
для электронов в периодическом поле. В этом параграфе
мы начнем со случая свободных электронов, используя сначала
метод, развитый Ландау [2] в связи с исследованием диамагнетизма
металлов.
Гамильтониан электрона с зарядом -е и массой m в магнитном поле,
векторный потенциал которого равен А, имеет вид
J-J - ¦ (р "Ь <?А)2 -,п "ч
Н==~ 2 - (3-2)
(см., например, [20], приложение 4). Соответствующий оператор получается
обычным путем-заменой р на оператор -ifiV. Тогда не зависящее от времени
уравнение Шредингера принимает вид
№ Г72 L. ' V L | CM* l F- L /О 04
