Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
единице объема, цд и - соответствующие подвижности. Подвижности в
полупроводниках по порядку величины и
по температурной зависимости не очень сильно отличаются от наблюдаемых в
металлах, так что резкая разница между теми и другими веществами
определяется различными значениями чисел N. Посмотрим, что дает
статистика Ферми для их температурной зависимости.
Пусть распределения энергетических уровней в пустой и заполненной зонах
таковы, что справедливы уравнения (2.8) - (2.10). Иначе говоря, пусть
плотности состояний определяются формулой (1.13), в которой массу т
следует заменить на т* или т**. Тогда, пользуясь формулой (1.8), легко
вычислить сумму 2 п0 всем состояниям с учетом обеих ориентаций спинов.
Как мы видели в гл. 1, § 4, эта сумма должна равняться полному числу
электронов. Вычислив ее как функцию EF, мы получим результат,
представленный на фиг. 2.3; для простоты здесь предположено, что
эффективные массы т* и т** в обеих зонах одинаковы. Из фигуры видно, что
рассматриваемая сумма равна N, когда энергия Ер расположена на полпути
между валентной зоной и зоной проводимости, т. е. в середине запрещенной
зоны. Тем самым определяется положение уровня Ферми. Очевидно, ситуация
здесь сложнее, чем в металле, где уровень Ферми соответствует точно
верхней границе занятых уровней.
Зная положение уровня Ферми, мы можем теперь воспользоваться формулой
(1.8), чтобы найти числа электронов в зоне проводимости и дырок в
валентной зоне. При обычных темпера-
Ф и г. 2.3. Энергетическая зависимость числа занятых уровней 2 F (?) для
собственного полупроводника.
При 2 F (?) = 0 число электронов достаточно для того, чтобы
компенсировать положительный заряд кри-
§ 5. Полупроводники
59
турах и в обычных полупроводниках ширина запрещенной зоны гораздо больше.
Обозначим эту ширину через АЕ. Очевидно, фигурирующий в формуле (1.8)
экспоненциальный множитель ехр(? - EF)/kT для всех уровней зоны
проводимости не меньше, чем exp(AE/2kT), и единицей по сравнению с ним
можно пренебречь. Следовательно, если Е есть энергия уровня в зоне
проводимости, отсчитанная от дна зоны, то функция F(E) приближенно имеет
вид
F(E) = exp (- -j^-) exp ( j^r). (2.16)
Вычислив теперь Нисло уровней на единицу энергии с помощью формулы (1.13)
(или эквивалентного соотношения), мы легко можем превратить сумму ^F(E) в
интеграл и явно выполнить интегрирование по всем уровням зоны
проводимости. Расчет дает для числа электронов в единице объема в зоне
проводимости
2 F (Е) = ^ (2яm'kT)'1' exp (- Щ. (2.17)
Легко показать, что такой же формулой дается и число дырок в валентной
зоне (оно получается суммированием величины 2[1-ЛЧ?)] по всем уровням
указанной зоны). Напомним, что по предположению т* = т**. Если
отказаться, от него, то формулы несколько усложнились бы, но не
изменились по существу. Разумеется, числа электронов и дырок должны •
быть одинаковы, чтобы получилось правильное значение суммы F(E) по всем
уровням.
Как видно из формулы (2.17), числа электронов и дырок пропорциональны
малому множителю ехр(-AE/2kT), очень быстро уменьшающемуся до нуля при
стремлении температуры к нулю. Этот множитель - самый главный в выражении
для электропроводности (2.15). Полученные .результаты удобно изобразить,
представив логарифм электропроводности как функцию обратной температуры.
Эта зависимость будет очень близка к прямой линии. Действительно,
температурная зависимость подвижности и множитель Т*Ь в уравнении (2.17)
приводят к сравнительно слабому отклонению от прямой линии, которая
обусловлена экспоненциальной функцией; к тому же эти две зависимости
приближенно взаимно компенсируются1). Подобные прямые линии действительно
наблюдались на опыте в случае собственных по-
') Так обстоит дело в случае рассеяния электронов на колебаниях решетки.
При других механизмах рассеяния компенсации нет, но главную роль в
выражении (2.15), по-прежнему играет температурная зависимость N, и N к-
- Прим. ред.
во
Г л. 2. Электропроводность металлов и полупроводников
лупроводников; из наклона прямой можно найти ширину запрещенной зоны Д?.
Фактически, однако, собственные полупроводники встречаются довольно
редко. Это объясняется важной ролью примесей, к описанию которой мы
сейчас и перейдем. Чаще всего оказывается почти невозможным приготовить
столь чистый полупроводник, чтобы он вел себя как собственный. Мы
рассмотрели этот случай главным образом в качестве подготовки к
исследованию более распространенных примесных полупроводников.
Посмотрим теперь, к чему может привести наличие атомов примеси в
полупроводниках. Для определенности исследуем один из наиболее подробно
изученных материалов, кремний или германий. Эти вещества, как известно,
имеют по четыре валентных электрона на атом и кристаллизуются в решетке
типа алмаза. В последней каждый атом имеет по четыре ближайших соседа,
так что электронов оказывается как раз достаточно для образования
ковалентных связей с соседними атомами. При этом валентная зона
