Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
обратное.
Интересно выяснить не только как движется волновой пакет под действием
постоянного поля, но и как он движется под действием силы, не уводящей
его далеко от минимума энергии. Вблизи минимума энергия представляет
собой, квадратичную функцию от kx\ ее можно записать в виде разложения в
ряд.
42
Гл. 2. Электропроводность металлов и полупроводников
начальные члены которого имеют вид
Е-Е0+ 2т. Е0 + 2т* .
Здесь Е0 - энергия в минимуме, а т* - величина размерности массы. Вообще
говоря, ш* никогда не совпадает с массой электрона; исключение составляет
случай, когда кривизна энергетической поверхности в минимуме такая же,
как и для свободного электрона. Тогда, согласно формулам (2.3), vx =
kxh/m*, и уравнение (2.5) дает
Мы получили обычное ньютоновское уравнение движения для частицы с массой
m *. Величина m * называется эффективной массой. Напомним, что это имеет
место только в том случае, если мы находимся достаточно близко к минимуму
энергетической кривой, так что ее можно заменить параболой.
Аналогичным образом вблизи максимума Энергетической кривой, который
достигается (на фиг. 2.1) при kx=nja, имеем
Здесь Е\ есть значение энергии в максимуме, a m ** - новая постоянная.
Как и в предыдущем случае, vx = - (kx - n/a)/m** и
Иными словами, вблизи потолка зоны мы имеем другую эффективную массу.
Удивительнее всего, однако, то, что сила ускоряет частицу в направлении,
противоположном ожидаемому. Иначе говоря, электрон ведет себя так, как
если бы его заряд был положительным. В действительности это, конечно, не
более чем выражение уже известного нам факта, с которым мы встречались
при рассмотрении движения в поле постоянной силы: именно в этой области
происходит брэгговское отражение, и частица действительно ускоряется в
направлении, противоположном тому, какое следовало бы ожидать при
действии одного лишь внешнего поля.
Отметим, что в обоих рассмотренных нами случаях эффективные массы ш* и
пг** могут сильно отличаться от истинной массы электрона. Так, если
энергетическая зона очень узка и
(2.8)
(2.10)
g 2. Ускорение волнового пакета в электрическом поле
43
кривизна энергетической поверхности у дна зоны мала, то эффективная масса
m * будет велика, иногда значительно больше истинной. С другой стороны, у
потолка зоны того же типа, как на фиг. 2.1, где кривизна велика, масса m
** будет очень мала. Заметим, что вполне возможны случаи, когда минимум и
максимум меняются местами, так что при к=0 достигается максимум энергии в
зоне. Возможны и другие случаи, когда максимум и минимум зоны Достигаются
внутри зоны Бриллюэна, а не на ее границах и не при к=0. Наконец
возможно, особенно для зон с большой энергией, что как потолку, так и дну
зоны отвечают очень большие значения кривизны, т. е. очень малые
эффективные массы.
'Рассмотрим теперь ток, переносимый электронами частично и полностью
заполненных зон, и исследуем его изменения во внешнем поле. Прежде всего
очевидно, что если энергетические уровни заполнены вплоть до некоторой
энергии, то суммарный ток равен нулю. Действительно, в кристалле конечных
размеров энергетические уровни отвечают равноотстоящим друг от друга
точкам оси kx. В случае частично заполненной зоны будут заняты все
уровни, соответствующйе точкам, симметрично расположенным по обе стороны
от начала координат kx=Q. Иначе говоря, число электронов с отрицательными
скоростями будет равно числу электронов с положительными скоростями.
Пусть теперь включено постоянное внешнее поле. Тогда все волновые пакеты
будут равномерно двигаться вправо по оси kx, так что по истечении
некоторого времени установится конечная результирующая скорость, и,
следовательно, результирующий ток, пропорциональный силе и величине
промежутка времени. В результате придем к ситуации, описанной в гл. 1, §
6. Пусть мы находимся в области, где энергия электрона аппроксимируется
квадратичной функцией импульса (с эффективной массой пг*). Тогда
справедливо уравнение (2 8), и за время t\ скорости всех электронов
возрастут на одну и ту же величину. (-eE/m*)ti. Соответственно задача о
вычислении электропроводности сводится к случаю свободных электронов с
той лишь разницей, что вместо истинной массы электрона следует
использовать эффективную. Ситуация не меняется сколько-нибудь существенно
и в том случае, когда степень заполнения энергетической зоны не позволяет
вычислять ускорение волнового пакета с помощью уравнения (2.8).
Качественная трактовка, основанная на рассмотрении сдвига занятых уровней
в пространстве импульсов, остается в силе и здесь.
С другой стороны, положение оказывается совершенно иным, если зона
заполнена целиком. В этом случае равномерно запол-
44
Гл. 2. Электропроводность металлов и полупроводников
нены все состояния в интервале 2я/а на оси kx. Вследствие периодичности
скорости полный ток всех электронов при этом равен нулю. В справедливости
сказанного можно убедиться и аналитически с помощью простого расчета.
