Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
¦йТ-ТЖГ' Ь~дГ=~~дГ {26>
(аналогично для у- и z-компонент). Тогда
d(En+Vi) . д^+У.) dx д(ЕЛ+У1) dy .
dt dx dt ' dy dt
.dfJb+Vi) dz , d(En+Vx) dkx .
dz dt dkx dt
d (?"+7,) dky d (?"+7,) dkz
+-Щ-ЗГ+-Щ----------------ЗГ ' <27>
При этом следует помнить, что Еп не зависит от х, у, z, а Vi - от
компонент вектора к. Если бы формулы для ускорения
(2.5) были неправильны, то соотношение (2.7) не имело бы места.
Изложенные рассуждения остаются справедливыми и в присутствии магнитного
поля. В самом деле, магнитная сила, будучи пропорциональна vXB,
перпендикулярна скорости волнового пакета, так что она не совершает
работы и не влияет на энергию.
40
Гл. 2. Электропроводность металлов и полупроводников
§ 2. Ускорение волнового пакета в электрическом поле
Перейдем теперь к изучению следствий из двух теорем (2.3)
(2.5), управляющих движением волнового пакета в периодическом поле и в
поле возмущения. Прежде всего рассмотрим случай постоянного внешнего
электрического поля (с которым мы встретились бы в простейшей задаче об
электропроводности). Большинство результатов можно проиллюстрировать на
примере одномерного движения, который и будет поэтому использован в
первой части этого параграфа. Согласно уравнениям (2.5), под действием
постоянной силы, направленной вдоль оси х, квазиимпульс будет равномерно
увеличиваться со временем. Посмотрим .теперь, как будет меняться
скорость.
На поставленный вопрос легко ответить, рассматривая энергию Еп в п-й зоне
как функцию волнового вектора и замечая, что скорость vx={l/b)(dEJdkx)
пропорциональна наклону кривой зависимости Еп от kx. Рассмотри^ эти две
кривые для простого случая, указанного на фиг. 2.1. Пусть в начальный
момент времени (f=0) волновой вектор kx или квазиимпульс р*=йЛх также
равен нулю. Как видно из фиг. 2.1, при этом равна нулю и скорость vx. В
постоянном внешнем поле kx будет равномерно возрастать со временем.
Однако по мере приближения kx к значению п/а, или к краю зоны Бриллюэна,
и по мере приближения к максимуму энергетической кривой скорость проходит
через максимум, затем уменьшается и в точке п/а обращается в нуль. Затем
она становится отрицательной, достигает большого отрицательного значения
и постепенно увеличивается до нуля, который достигается при kx=2n/а и
kx=Q. Естественно -возникает вопрос: в чем физическая причина этой
удивительной ситуации, в которой положительная сила и положительная
скорость изменения квазиимпульса могут иногда привести к отрицательному
ускорению?
Фиг. 2.1. Зависимость энергии Еп от kx в n-й зоне и vx - скорости вдоль
направления х в простой одномерной модели кристалла.
§ 2. Ускорение волнового пакета в электрическом поле
41
Объяснение связано с брэгговским отражением. Как только волновой вектор
электрона достигает величины п/а, соответствующая ему длина волны
становится равной 2а, т. е. достигает значения, при котором происходит
брэгговское отражение. При этом вероятность отражения или изменения знака
скорости становится очень большой; фактически вблизи указанных значений
волнового вектора это как раз и происходит. После отражения электрон
начнет двигаться в противоположном направлении, и дальнейшее приложение
силы будет постепенно замедлять его, затем его скорость изменится на
обратную, опять будет возрастать, пока вновь не наступят условия
брэгговского отражения, и т. д. В результате мы приходим к периодической
зависимости скорости от kx.
Математически дело обстоит следующим образом. Если электрон почти
свободен, то его волновая функция представляет собой в основном плоскую
волну с волновым вектором kx\ примесь других волн с волновыми векторами
kx + KjX при Kjx^O очень мала до тех пор, пока мы не окажемся вблизи
условий брэгговского отражения. Здесь векторы К)Х равны 2пЦа, где / -
целое число. Пусть kx увеличивается от нуля, достигая значения п/а. Тогда
волновой вектор kx - (2л/а) достигает зна,-чения -п/а и соответствующая
волновая функция оказывается вырожденной с первоначальной. На краю зоны
Бриллюэна эти две волны имеют равные амплитуды; поскольку они
соответствуют импульсам, равным по величине и противоположным по знаку,
средний импульс, а с ним и скорость волнового пакета обращаются в нуль.
При возрастании &х-свыше п/а волна с волновым вектором kx-(2п/а) быстро
увеличивается по амплитуде, практически исчерпывая все разложение
волновой функции. К тому времени, когда kx становится равным 2п/а,
волновой вектор этой волны обращается в нуль, т. е. она ведет себя, как
исходная волна с &х=0. Заметим, что по мере неограниченного роста kx весь
этот цикл периодически повторяется.
Итак, внешнее поле может вызывать ускорение с противоположным знаком
потому, что сила, обусловленная им, не единственная. Она лишь доводит
волновой вектор электрона (или волнового пакета) до значения, при котором
наступает брэгговское отражение. Последнее представляет собой гораздо
более сильный эффект, который и изменяет направление скорости на
