Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
электрона. Как известно, функция Блоха представляет собой суперпозицию
бесконечного числа плоских волн, соответствующих всем волновым векторам
к+ К,-, где К< - волновой вектор обратной решетки. Средний импульс
электрона в таком состоянии получается из средних, отвечающих всем этим
плоским волнам, и он отнюдь не равен kfi. Аналогично пусть волновой пакет
образован из функций Блоха, отвечающих приблизительно одному и тому же
значению к. Тогда средний импульс пакета будет примерно тем же, что и у
составляющих его функций Блоха. Именно этот средний импульс и связанную с
ним среднюю скорость волнового пакета (равную отношению среднего импульса
к массе) мы и будем рассматривать в следующем параграфе. Чтобы отличать
величину p = kfi от истинного импульса, ее принято называть
квазиимпульсом. Именно с квазиимпульсом мы и имели дело, рассматривая
размеры волновых пакетов. Причина, по которой мы получили правильный
результат, заключается в следующем. Волновой пакет составляется из волн
примерно одинаковой длины, причем внутри пакета они интерферируют,
усиливаясь, а вне его - ослабляясь. Длины блоховских волн связаны с
волновым вектором к соотнощением де Бройля, и это все, что требуется для
вывода сотношений неопределенности.
38
Гл. 2. Электропроводность металлов и полупроводников
an un on
V"x~ др ' и"У~ др " и"г~ др - ^ )
Обратимся теперь к первой из двух упомянутых выше теорем. Она относится к
средней скорости волнового пакета в периодическом поле. Как уже
говорилось, эта скорость выражается обычно не через квазиимпульсы р, а
через средний (в квантовомеханическом смысле) импульс электрона. 'Можно
было бы ожидать также, что средняя скорость окажется не чем иным, как
групповой скоростью блоховских волн. И это действительно так. Напомним
И1), что стандартная формула для групповой скорости имеет вид
дН дН_ дН
°у
Здесь рх, ру, pz - "импульсы", связанные с длинами волн соотношением де
Бройля, т е. в данном случае это компоненты квазиимпульса, а не истинного
среднего импульса волнового пакета. Следовательно, если энергия в п-й
энергетической зоне есть некоторая функция волнового вектора En(k), то
следует ожидать, что
_1_ дЕ" 1_ дЕп _ _1_ дЕп о\
v*x Ъ dkx ' v*" Ъ dky ' и"г ~ Ь дкг ¦
Эти соотношения действительно оказываются правильными. В приложении 1
вычислено среднее значение оператора скорости в состоянии, описываемом
функцией Блоха или волновым пакетом. (Это среднее, конечно, равно
среднему значению оператора импульса, деленному на массу электрона.)
Результат точно совпадает с формулами (2.3). Доказательство сводится к
непосредственной выкладке и никак не связано с представлением о групповой
скорости.
При наличии только периодического поля волновой пакет, подобно свободно
движущейся частице классической механики, бесконечно долго сохраняет
постоянные значения квазиимпульса, энергии и скорости. Нам, однако, нужно
знать, что происходит с волновым пакетом под действием дополнительного
возмущения, связанного с внешним электрическим или магнитным полем;
именно так обстоит дело в обычном опыте по измерению проводимости в
присутствии магнитного поля. Пусть имеется возмущение, описываемое
потенциальной энергией V\, слабо зависящей от координат; пусть также
имеется и не зависящий от времени вектор-потенциал А, связанный с
магнитной индукцией сотношением B = rotA. Обозначим суммарную силу,
действующую на электрон со стороны электрического и магнитного полей,
через F. Тогда
_______________________ F = - е [Е + (v X В)]. (2.4)
_ m гг..
§ 1. Электрон в периодическом поле решетки
39
Здесь, как и раньше, -е - заряд электрона, Е - напряженность
электрического поля (равная -grad 1Л), v - скорость волнового пакета,
определяемая равенствами (2.3), и В - магнитная индукция. Тогда, согласно
второй теореме, доказываемой в приложении 1,
df>x : р - р dPz = р (2 5)
dt х' dt "' dt г' {>
т. е. скорость изменения квазиимпульса kfi задается возмущающей силой.
Соотношения (2.5) выглядят как второй закон Ньютона, но, конечно, они ему
не эквивалентны. Действительно, во-первых, здесь мы имеем дело не с
истинным импульсом, а с квазиимпульсом; во-вторых, в выражение для силы,
действующей на волновой пакет, не включена сила, связанная с
периодическим полем (самая большая по величине).
Хотя уравнения (2.5) и не идентичны второму закону Ньютона, в
правильности их (по крайней мере в отсутствие магнитного поля) можно
убедиться с помощью простых соображений, основанных на законе сохранения
энергии. Именно в отсутствие магнитного поля полная энергия волнового
пакета складывается из энергии в энергетической зоне в отсутствие
возмущения (Вп) и потенциальной энергии возмущения в данной точке (1Л). В
силу закона сохранения энергии волновой пакет должен двигаться так, чтобы
сумма ?П + 1Л оставалась постоянной. Но именно это и обеспечивается
равенствами (2.3)-(2.5). Действительно, их можно переписать в виде
дх _ 1 дЕп t dkx dV: m
