Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
переменной R, которая впоследствии будет принимать дискретные значения
R*).
Воспользуемся теперь теоремой о том, что центр тяжести волнового пакета
удовлетворяет классическим уравнениям движения Гамильтона. Это дает
Чг-о*ж--Щг- <П1-25>
Здесь Я1 есть функция непрерывных переменных х, у и z, опре-
деляющих положение центра тяжести волнового пакета. Другими словами,
видно, что в присутствии возмущения квазиимпульс, соответствующий
волновому вектору пакета, будет вести себя согласно второму закону
Ньютона, причем скорость изменения квазиимпульса равна возмущающей силе,
х-компонента которой есть -dHi/dx. Конечно, как указывалось выше, это не
означает, что волновой пакет будет двигаться, подобно классической
частице а поле возмущения Яi, ввиду неклассической связи между
квазиимпульсом и скоростью, описываемой формулой (П1.4). Следствия этого
факта рассмотрены в гл. 2.
Если энергию Еп можно разложить в степенной ряд вблизи энергетического
минимума и нас интересуют уровни энергии, близкие к этому минимуму, то
можно взять разложение типа (2.11) плюс члены высшего порядка, которыми
можно пренебречь. В таком случае уравнение (П1.24) сводится к следующему:
ГР _ ftVJ a2 J___a2 J <ЭМ ,
L 0 2 I тх дх2 ту ду2 тг дг1)
+ Нх (R)] "F (R, t) = ih - **' (П1.26)
Это обычное уравнение Шредингера для частицы с тензорной эффективной
массой при наличии потенциала ЯТакое приближение используется в задаче о
водородоподобной волновой функции электрона вблизи примеси, как
упоминалось в гл. 2, § 5.
Теперь можно обсудить вопрос о том, как обобщить наше
Движение волновых пакетов в периодическом поле
331
рассмотрение на случай магнитного поля. Аналогично случаю электрических
полей, будем считать, что магнитное поле имеет макроскопический характер,
т. е. изменяется только на макроскопических расстояниях, оставаясь
практически постоянным на протяжении волнового пакета. Прежде всего
напомним, как входит магнитное поле в гамильтониан и в уравнения
Шредингера (см. [4], приложение 4). Известно, что для учета наличия
магнитного поля нужно заменить обычный член кинетической энергии в
гамильтониане р2/2m выражением (р - еА)2/2т, где А - векторный потенциал,
-е - заряд электрона (так что е представляет собой положительную
величину). Покажем теперь, что соответствующее видоизменение уравнения
(П1.24), описывающего движение волнового пакета, состоит в замене Е"(-fV)
на Еп(-i'V + еА/А), как этого естественно было ожидать, поскольку в
классической механике мы заменяем р на р + еА.
Основной эффект, к которому приводит магнитное поле в уравнении
Шредингера, состоит, как мы только что заметили, в изменении члена
кинетической энергии. Раскроем выражение (-iAV + eA)2/2m и примем, что
потенциальная энергия V входит так же, как в уравнение (П1.1); тогда
вместо последнего уравнения получим (переходя одновременно к уравнению
Шредингера со временем)
Таким образом магнитное поле приводит к появлению в гамильтониане двух
дополнительных -reAA-V/m + e2A2/2m. При рассмотрении их следует помнить,
что векторный потенциал А, подобно скалярному потенциалу, определен
неоднозначно. Добавив к А произвольный вектор с равным нулю ротором, мы
оставим магнитное поле неизменным, поскольку В = rot А. Если этот'
вектор, включенный в А, не зависит от времени, то он не дает вклада и в
электрическое поле (поскольку срставляющая напряженности электрического
поля, происходящая от А, определяется выражением Е = -dA/dt). Если эта
добавка зависит от времени, можно добавить компенсирующую поправку к
скалярному потенциалу, с тем чтобы сохранить напряженность электрического
поля неизменной. Именно эта возможность преобразования векторного и
скалярного потенциалов без изменения поля приводит к существованию
преобразования калибровки - процедуры, сводящейся просто к описанному
только что изменению потенциалов.
В частности, можно выбрать калибровку так, чтобы сразу .обратить в нуль
векторный потенциал в центре волнового пакета; этот метод был использован
Джонсом и Зинером в работе,
(П1.27)
332
Приложение 1
цитированной выше. В таком случае для волнового пакета небольших размеров
член с е2А2/2т становится очень малым и в рассматриваемой задаче им можно
пренебречь (однако он должен быть сохранен в некоторых других задачах,
например в теории диамагнетизма). Член первого порядка, содержащий А • V,
однако, таким способом устранить нельзя, поскольку, как мы увидим ниже,
он приводит к появлению слагаемых, содержащих производные от компонент А
по переменным х, у й г, т. е. членов, в которые входит магнитное поле.
Мы имеем, следовательно, просто член возмущения -iefiA-V/m в
гамильтониане. Проверим теперь в принятом приближении сделанное выше
утверждение о том, что модификацию уравнения (П1.24) можно осуществить
посредством замены Е"(-i V) на Еп(-iV + eA/fi). Ввиду обращения в нуль
векторного потенциала в центре волнового пакета это выражение можно
разложить по степеням векторного потенциала, сохранив только
