Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
J <(r-R,)№)."""(r-R/)^=?"(R,-R,), (П1Л6)
где 8 " (R< - Rj) - одна из фурье-компонент разложения энергии ?n(k) в п-
й зоне как функции к. Это разложение имеет вид
?"(к)= 2 Sr. (RJ ехр (-/к . RJ. (П1.17)
Используем теперь остроумный метод, предложенный Ваннье, чтобы переписать
сумму ^ Ч* t) J an(r - R,)(^0)ona* (г - R,)dv
в иной, более интересной форме.
Идея, на которой основан этот метод, состоит в следующем. Нужно
использовать соотношение (П1.17), правая часть которого выражена как
функция к, переписать его как функцию квазиимпульса р, равного Йк, и
затем заменить переменную р оператором -ibV, что сводится к замене
вектора к оператором -iV. Затем необходимо исследовать действие
полученного
Ч См., например, [(r)]. - Прим. ред.
328
Приложение 1
оператора на произвольную функцию. Таким образом, нас интересует, как
действует оператор ехр(-R,-V) на произвольную функцию. Проще обсудить
одномерный случай, когда рассматриваемый оператор имеет вид ехр(-Х"д/дх)\
обобщение на случай трех измерений сЬвершается без труда. Разлагая
экспоненту в степенной ряд, получаем
(П 1.18)
Используя степенной ряд по трем переменным и трехмерную форму теоремы
Тэйлора, докажем аналогичным образом, что
expC-R,- V)f{r) = f{r-Rs). (П1.19)
Составим теперь по указанному выше рецепту оператор [?¦" (к) ]0ц и
подействуем им на функцию ^(R,-,/). Получим
[?"(Ю]оПт. 0 = S^(^)exP(-^-v)'P(Rb 0 =
= S^(RI)'P(Ri-RJ. /) = S^(Ri-R/)'P(R/. t) =
К* К/
= 2 *(R/. t) J a\(t- R,)(tf0)on an(r - R^)dv, (П1.20) */
где мы заменили при суммировании R^ на R< - Rj. Видно, кстати, что в
отсутствие возмущения (Яi = 0) можно было бы переписать уравнение (П1.15)
в форме
[?"(k)Um, t]. (ni.21)
Это равенство похоже на уравнение Шредингера для волновой функции ^(Ri,
t), причем последняя считается непрерывной функцией величины R{,
рассматриваемой как переменная, а оператор [Я"(к)]оп следует
рассматривать как гамильтониан.
Как было отмечено автором работы [5], выражение (П1.21) представляет
собой уравнение Шредингера, связанное с классическим гамильтонианом
Еп (т) = 2 (R-) ехр( - -т-) ¦ <nL22)
Движение волновых пакетов в периодическом поле
329
Последний получается, если выразить волновой вектор к через квазиимпульс
р и записать энергию в n-й энергетической зоне как функцию квазиимпульса.
Мы знаем, однако, что центр тяжести волнового пакета движется согласно
классическим гамильтоновым уравнениям движения '). В невозмущенном случае
мы можем поэтому использовать уравнение Гамильтона dq/dt = *=дН/др, чтобы
найти компоненты скорости волнового пакета. Имеем
Это есть х-компонента уравнения (П1.4). Другими словами, пользуясь
классическим гамильтонианом (П1.22), мы получаем очень простое
доказательство теоремы о скорости волнового пакета, приведенной в § 1
данного приложения.
Рассмотрим теперь возмущающий член в уравнении (П1.14). Он будет
приводить к изменению со временем среднего импульса или среднего
волнового вектора волнового пакета, как можно заметить, применяя к той же
задаче другое уравнение Гамильтона; ^-компонента последнего уравнения
имеет вид dpjdt =" =-дН/дх. Невозмущенный гамильтониан, согласно формуле
(П1.22), не зависит от пространственных координат, в результате чего
вектор р (или к) не зависит от времени. Однако, если в гамильтониане
появляется добавочный член Ни который может зависеть от координат, это
может, следовательно, привести к изменению волнового вектора во времени.
1
В простейшем случае оператор Нi зависит только от^коор-динат (это
исключает магнитные эффекты, которым отвечает зависимость гамильтониана
возмущения от импульса или от скорости) и, кроме того, столь медленно
изменяется в пространстве, что его можно считать постоянным на протяжении
волнового пакета. Так будет обстоять дело, когда член Н\ обусловлен
внешним электрическим полем, меняющимся лишь на макроскопических
расстояниях, больших по сравнению с размерами волнового пакета. С другой
стороны, последние представляют собой величины микроскопического порядка,
хотя они и велики по сравнению с межатомными расстояниями. В таких
условиях
в интеграле J а* (г - Rj) (#i)0n ап(т - Rj)do можно вынести
приблизительно постоянную величину (Hi)оп из-под знака интеграла. Ввиду
ортогональности функций Ваннье интеграл не будет обращаться в нуль только
при R* = Rj, а при выполнении этого равенства интеграл оказывается равным
произведению единицы на #i(Rj)-значение возмущающего потенциала щ
') См., например, [4], приложение 3.
330
Приложение 1
атомном узле R,-. В этом случае уравнение (Щ.]5) с учетом (П1.22) можно
переписать в виде
[Ея{-Я) + НМ] m. t) = ib (П1.24)
Здесь оператор ?"(-iV) представляет собой энергию в п-й зоне,
выраженную как функция к, где вектор к в свою очередь заменен оператором
- z'V. Итак, мы имеем уравнение Шредингера, полученное из классического
гамильтониана ?n(k) + #i(Rj), в котором потенциал возмущения Яi
рассматривается как функция непрерывной переменной R* (или непрерывной
