Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
например, [4]). Таким образом, мы, как и намеревались, доказали формулу
(П1.4). Доказательство в приведенной форме справедливо лишь в отсутствие
магнитного поля, поскольку здесь не включены члены, содержащие векторный
потенциал, ни в уравнение Шредингера, ни в оператор скорости.
Мы нашли величину средней скорости электрона в состоянии, описываемом
блоховской волной (П1.3). Можно, однако, сложить много блоховских волн,
отвечающих близким значениям вектора к и одной и той же энергетической
зоне, построив тем самым волновой пакет. Среднюю скорость последнего
можно найти как взятое с определенным весом среднее значение скоростей,
отвечающих содержащимся в нем блоховским функциям. Действительно, легко
доказать, что не существует отличных от нуля недиагональных матричных
элементов оператора скорости, связывающих волны с различными значениями
вектора к. Поскольку все блоховские волны в пакете имеют примерно
одинаковую скорость, такое же значение получится и для волнового пакета.
Таким образом, это дает величину, определяемую формулой (П1.4), в
качестве средней скорости волнового пакета, составленного из блоховских
волн, все волновые векторы которых близки к значению к.
§ 2. Ускорение волнового пакета во внешнем поле
В предыдущем параграфе мы нашли скорость волнового пакета в периодическом
поле в отсутствие внешних электрического или магнитного полей. Эта
ситуация отвечает стационарному состоянию с постоянной энергией,
постоянным волновым вектором и постоянной скоростью, как для свободно
движущейся частицы в классической механике. Поставим теперь вопрос о
влиянии приложенного извне поля, как электрического, так и магнитного.
Будем считать поле слабым, так что его можно рассматривать как
возмущение, и будем учитывать действие магнитного поля упрощенным
образом, приводящим к правильным результатам для эффектов первого
порядка, хотя этот способ нельзя обосновать в более высоких приближениях.
Корректное рассмотрение влияния магнитного поля включает так называемое
преобразование калибровки - характерную особенность
326
Приложение 1
теории векторного потенциала и уравнения Шредингера, которую мы не будем
подробно обсуждать в настоящем томе. Упрощенный метод, используемый нами,
основан на идеях, которые впервые выдвинул Ваннье.
Для наших целей удобно разложить волновую функцию, представив ее в виде
линейной комбинации функций Ваннье. принадлежащих только одной зоне.
Напомним (см. [*]), что решение уравнения Шредингера в форме одиночной
волны с определенным волновым вектором можно записать как бло-ховскую
сумму по функциям Ваннье
ып (к, г) = -^ ехр (tk • R/) ап (г - R/). (П1.12) */
Задача состоит в том, чтобы составить линейную комбинацию нескольких
функций ы"(к, г) с близкими значениями к, которая будет в достаточной
степени сконцентрирована в пространстве. Как указано в основном тексте
книги, эта локализация не может быть очень сильной, без размытия пакета
на слишком обширную область в k-пространстве. Далее, линейную комбинацию
функций типа (П1.12) можно представить как линейную комбинацию функций
Ваннье
ЧДг, 0=2^(R/, t)an(r-Ri). (П1.13)
R/
Здесь мы использовали зависящие от времени волновые функций, поскольку
нас интересует движение волнового пакета. Амплитудная функция ^(Rj, /)
будет вести себя как ехр (ik ¦ Rj) ехр [-iEn(k)tlb], т. е. как плоская
волна с волновым вектором к и энергией Еп(к) в пределах области
локализации волнового пакета, но будет быстро спадать за его пределами.
Иными словами, зависящая от пространственных координат часть будет иметь
вид произведения величин exp(?k*Rj) на модулирующую функцию, заметно
отличную от нуля только внутри волнового пакета. Поскольку
предполагается, что пакет захватывает много атомных узлов, значение к
будет довольно хорошо определено, и, следовательно, в качестве Еп(к)
можно выбрать энергию, отвечающую среднему значению к.
Подставим теперь волновую функцию (П1.13) в возмущенное уравнение
Шредингера, включающее не только оператор Гамильтона (Н0)оп, стоящий в
уравнении (П1.1) и характеризующий задачу с периодическим потенциалом, но
также и возмущающий член (Hi)on- Последний мы явно выпишем несколько
ниже; он будет содержать члены, обусловленные внешними элец-
Движение волновых пакетов в периодическом поле
32?
трическим и магнитным полями, действующими на волновой пакет. При этом
уравнение Шредингера
{н0 + н,)ОП^ = ш^-
приобретает следующий вид:
? ? (R/> t) (#0 + я,)(tm) ап (г - R/) = й 2 а" (г - R,).
R
1 RI
(П1.14)
Умножим его слева на функцию, комплексно сопряженную одной из функций
Ваннье, относящейся к п-й зоне, которые мы использовали для построения
волнового пакета, а именно на а*п(т - R,), и проинтегрируем по объему.
Получим
2 V "/. ') J К(' - *,) * - " -а'11 ¦
R/ (П1.15)
Мы здесь воспользовались в правой части свойством ортогональности функций
а". Теперь нужно рассмотреть интегралы в левой части. Начнем с члена,
содержащего (Яо)оп-Известно *) (см. [*]), что
