Сборник задач по физике - Славов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
,toW = -- = -- =
2 m 2 2
= const. Полная механическая энергия равна максимальному значению
потенциальной или кинетической энергии.
Упругой волной называется процесс распространения механических колебаний
в упругой среде. Волны называются поперечными, если частицы среды
совершают колебания в направлении, перпендикулярном направлению
распространения волны, и продольными, если частицы среды колеблются в
направлении распространения волны. Распространение волны происходит с
определенной скоростью v.
I
М
дп
::::ю
X
Рис. 86
Рассмотрим бесконечно длинный шнур, левый конец которого (х=0) начинает
совершать гармонические колебания y=ymsincor (рис. 86). Колебательное
движение постепенно распространяется вдоль всего шнура. В частности,
точки в сечении М шнура на расстоянии х от начала шнура начнут совершать
колебания через время x=x/v. Если нет затухания, то можно считать, что
амплитуда колебаний не будет изменяться и точки в сечении М будут
совершать колебания по тому же закону, но с опозда-
нием на т: у = ут sin
со
г-*
= .Pm Sin
( 2nt Т
2itx
lb
. Произведение Tv
есть расстояние, пройденное волной за время, равное одному периоду. Оно
называется длиной волны X: X = vT = v/v. Длина волны - это кратчайшее
расстояние между точками волны, колеблющимися в одинаковой фазе.
Геометрическое место точек, до которых в пространстве в данный момент
времени доходит процесс колебания, называется фронтом волны. Если фронт
волны является плоскостью, то волна называется плоской.
Распространение волн всегда сопровождается распространением энергии.
Упругие волны с частотой примерно от 20 Гц до 20000 Гц улавливаются
человеческим ухом и называются звуковыми волнами.
При переходе из одной среды в другую изменяется скорость v и длина волны
X, а частота колебаний v не изменяется: v=y/A.=const.
Пример 60. Шарик массой т = 200 г совершает гармонические колебания с
амплитудой хт = 5ом и периодом Т= 4 с на упругой пружине. Напишите
уравнение колебаний х =/(?). Определите координату шарика в начальный
момент времени и через t = 2 с от начала движения. Определите
максимальное ускорение и максимальное значение упругой силы, действующей
на шарик. Найдите жесткость к пружины.
Дано: Уравнение колебаний в общем виде записывается как
m = 200 г, x=xmcoscor, где со = 271/7'= я/2. С учетом, что jcm = 5-10 2
м,
хт - 5 см, имеем х = 5.10"2cos(ro/2). При r=0 х0 = 5 • 10'2cos0=5¦ 10-2
м.
^-^с' При Г = 2с х. = 5- 10~2cos(7t-2/2) = -5-10~2м. Найдем ско-
t=2с
x(t) - ? рость
х0,х,- ? ахтах ? я 9
F -? Л х max 4.
к -7 = -со2
dx
ускорение шарика: vx = - = -coxm sin шг =
d t
О'2 sin(ro/2)=-7,8-10~2 sin(ro/2), ах = ^ =
d/
( 71V
ш oscor = - - -5-10"2 cos(to/2)=-0,12cos(tii/2).
Максимальное значение ускорения имеет место при cosa = ±l: \ах max |=
2 м/с2. Максимальное значение действующей на шарик силы
находим из уравнения Fxma = тах max, Fxmax = 2,4-10~2 Н. Для нахождения
жесткости пружины к воспользуемся формулой - = со2, откуда
т
к=та)2 = 0,5 Н/м.
263
Пример 61. Математический маятник длины I совершает колебания вблизи
вертикальной стенки. Под точкой подвеса маятника на расстоянии а=//2 от
нее в стенку вбит гвоздь (рис. 87). Найдите период колебаний маятника.
Дано: 1,а = 1/ 2
Т- ?
Для того, чтобы совершить одно полное колебание, время которого равно
периоду Т, маятнику необходимо Г,/2 с двигаться, обладая длиной / и Т2/2с
- обладая длиной l-а. Здесь
Т2 - 2л
II-а
Но
8
Т- Г, /2 + Т2 /2. Отсюда
Т-
!Я^+Я/?=Я^'
V2+1
Л
Пример 62. Волна с частотой v = 5 Гц распространяется в пространстве со
скоростью v = 3 м/с. Найдите разность фаз между двумя точками волны,
отстоящими друг от друга на расстояние /=0,2 м. Точки лежат вдоль оси
распространения волны.
Дано: у = 5Гц, v-З м/с, 1=0,2 м
Разность фаз между двумя точками волны, отстоящими друг от друга на
расстояние А, равна 2л. Составляя пропор-
271 Аф , *
цию - = --, найдем, что разность фаз Аф между двумя _________ А. /
Дф 7 точками, разделенными расстоянием /, определяется как
Дф = , где \=v/v.Tаким образом, Дф = = 2,1 рад.
А V
30. Механические колебания и волны
30.1. Напишите уравнение гармонического колебательного движения,
амплитуда которого хт=5 см, если за время т = 1 мин совершается N=120
колебаний. Начальная фаза колебаний равна нулю. Начертите график этого
движения.
264
30.2. Амплитуда гармонических колебаний хт-50мм, период Т-4 с. Начальная
фаза равна п/4. Напишите уравнение колебательного процесса. Найдите
смещение колеблющейся точки от положения равновесия при /, = 0 и /2 = 1,5
с. Начертите график колебательного процесса. Чему равна скорость точки в
моменты времени t3 = 2 с, т4 = 3 с ?
30.3. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону: х=
l,2cos[7r(2f/3+ 1/4)] (м). Определите амплитуду, циклическую частоту,
период и начальную фазу колебаний. Найдите амплитуды скорости и
ускорения.
30.4. Через сколько времени от начала движения точка, совершающая
