Сборник задач по физике - Славов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
индуктивностью L= =0,01 Гн и конденсатор емкостью С=10~9Ф (рис. 29.21). В
момент, когда полярность внешней ЭДС соответствует направлению тока,
указанного на рисунке, а ее мгновенное значение 8=50 В,
258
I
XQ. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Механические колебания и волны
Механическими колебаниями называют движения тел около некоторого
положения равновесия, повторяющиеся точно или приблизительно через
одинаковые промежутки времени.
Различают свободные, затухающие и вынужденные колебания.
Свободными называются такие колебания, которые имеют место в системе тел,
не подвергающейся внешним воздействиям. Свободные колебания
осуществляются под действием внутренних упругих сил, направление которых
противоположно смещению тел относительно положения равновесия.
Затухающие колебания возникают в системах тел, на которые со стороны
внешних тел действуют силы трения (сопротивления), препятствующие
движению тел.
Колебания, возникающие под действием периодических внешних сил,
называются вынужденными.
В настоящем пособии мы ограничимся рассмотрением свободных гармонических
колебаний.
Свободным гармоническим называется такое колебание, при котором смещение
тела относительно положения равновесия изменяется по закону синуса или
косинуса:
х = хт sin(cof + а0) или х = хт cos(cy + a0),
где х - смещение тела от положения равновесия; хт - амплитуда колебаний,
т. е. максимальное смещение тела относительно положения равновесия; t -
время; со - циклическая частота, равная числу полных колебаний за 2л
секунд; сос+сХц - фаза колебаний; а*, - начальная фаза (значение фазы при
с=0).
Найдем скорость и ускорение тела, совершающего гармонические колебания:
х = хт sin(cor + a0); (1)
d х
vx = - = xmcocos(co/ + a0)=xmcosin(coc + a0 +л/2); d t
ax = = -xmco2 sin(cof + a0)= xmco2 sin(cof + a0 + л).
at dr
259
Если тело совершает гармонические колебания, то скорость и ускорение тела
также меняются по гармоническому закону с той же циклической частотой,
что и смещение, но со сдвигом по фазе.
Амплитудное значение скорости
"т=^ю-
По фазе скорость опережает смещение на л/2. Следовательно, при дс=±хт о =
0, а при х=0 |и| = шах. Ускорение изменяется в противофазе по отношению к
смещению, т. е. при х>0 ах>0 и наоборот. Вектор ускорения всегда
направлен в сторону положения равновесия. При этом выражение для
ускорения имеет вид
d2x 2 ах =-- = -со л. dr2
Это соотношение является необходимым и достаточным для описания
гармонических колебаний. Это означает, что если тело, движущееся под
действием приложенных сил, приобретает, в частности, ускорение
Q
ах х , где с=const (с>0), то тело будет совершать гармонические
т
колебания с циклической частотой со = -Щт . *•
Период колебаний Т - это минимальное время, по истечение которого
состояние колеблющегося тела, т. е. его смещение, величина и направление
скорости,
полностью повторяются. Следовательно,
x(t+T)=x(t).
Это выражение справедливо для любого момента времени. После подстановки в
данное уравнение уравнения (1) имеем
sin[co(f + Г)+ <х0 ]= *т sin(cof+<х0).
Так как фаза за время Т изменяется на 2л, то
2л 1
со(г + 7) + а*, = сот + а0 + 2л. Отсюда со = - = 2tcv , где v = - -
частота
колебаний, т. е. число полных колебаний за 1с. График
гармонических колебаний представлен на рис. 83.
260
Рассмотрим движение пружинного маятника: тела массой т, укрепленного на
конце невесомой пружины (рис. 84). Найдем период колебания этого
физического маятника. Предположим, что сил трения нет. Выберем
направление оси X совпадающим с направлением колебания тела на пружине.
Начало координат совместим с положением равновесия системы. Выведем
систему из положения равновесия, растянув пружину на длину х, и
предоставим систему самой себе.
Второй закон Ньютона, записанный в проекции на ось X: тах=-кх,
к 2
приводит к выражению для ускорения ах= х, а так как ах=-ы х, то
т
Рис. 84
(О
V т
следовательно, период колебаний Т
¦4f-
Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на
нерастяжимой невесомой нити и совершающая малые колебания около положения
равновесия (угол отклонения нити от вертикали не превышает 8°).
Рассмотрим колебания математического маятника (рис. 85). Смещение S тела
от положения равновесия равно дуге ОА (будем считать смещение тела влево
положительным). В проекции на ось X, касательную к дуге ОА в точке А,
второй закон Ньютона запишется в виде maz=-mgsina~-mga, где a=S/l (здесь
/ - длина нити маятника). Поэтому
az=-gS/l, т.е. тело будет совершать колебания по гармоническому закону с
циклической частотой со = -jg/l . Период колебаний
математического маятника Т = 2n^jl/g .
При гармонических колебаниях в отсутствии трения выполняется закон
сохранения механической энергии, т. е. происходит периодическое
превращение потенциальной энергии системы в кинетическую и наоборот,
причем WK + Wn=const:
261
Полная механическая энергия W=WK+Wn =
кхт cos cor
та)2xl sin2cot " к г kxm mvm
+------------- . Поскольку - = со , a = coxm
