Сборник задач по физике - Славов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
рим сообщающиеся сосуды, в которые залита однородная жидкость, причем в
одном сосуде плавает тело, а в другом налита еще одна жидкость меньшей
плотности (рис. 32). Необходимо доказать, что на произвольном
горизонтальном уровне АВ давления в точках ) и 2 равны. Но О X
прежде докажем, что давление в
Рис'32 точках 3 и 4, расположенных на
одной горизонтали, равны. Мысленно выделим прямой круговой цилиндр,
основаниями упирающийся в точки 3 и 4. Запишем для него условие
равновесия в проекции на ось X: p3S-p4S = 0, где p3S - сила, действующая
на левое основание цилиндра, p4S - на правое. Сокращая на S, получим
р3=р4. Мысленно выделим вертикальный цилиндр, основания которого
упираются в точки 1 и 3. Запишем для него условия равновесия в проекции
на ось У: -plS-mg+p3S = 0, где т - масса жидкости в вертикальном
цилиндре. Для аналогичного цилиндра, основания которого упираются в точки
2 и 4, получим -p2S-mg+p4S = 0. Решая систему уравнений, найдем, что
р{=р2.
А
Т]
В
104
Пример 22. В два цилиндрических сообщающихся сосуда налита ртуть (рис.
33, я). Сечение одного сосуда S2 в два раза больше другого S,. Широкий
сосуд доливают водой до края. На какую высоту h поднимается при этом
уровень ртути в другом сосуде? Первоначально уровень ртути был на
расстоянии I от верхнего края широкого сосуда. Плотности ртути и воды
соответственно равны рр и рв.
Дано:
I' Рр > Рв ' $2 /"^1 = ^ h - 1
Ситуация после долива воды изображена на рис. 33,6.
Согласно закону сообщающихся сосудов (см. пример 21), давление в точках 1
и 2 будет одинаково: рх-р2, или Po + PP8(h+x)=pQ+pBg(l+x), а) б)
где р0 - атмосферное давле- р с 33
ние, ах- расстояние, на
которое опустится уровень ртути в правом колене. Так как ртуть
несжимаема, то Slh = S7x. Решая совместно два уравнения, получаем
h = 2-В"-/.
Зрр-Рв
S, S2
1 \
н
..т.
1 , я
Пример 23. Полый цинковый шар, внешний объем которого V, плавает в воде
так, что половина его погружена в воду. Найдите объем полости шара, если
отношение плотностей воды и цинка равно п.
Дано:
P2/Pi="- V
На шар действуют две силы: mg - сила тяже-
сти и F.
архимедова сила (рис. 34). Условие
равновесия в проекции на ось Y дает: FA-mg = 0.
105
Масса шара равна т = p,(V- V0), где р, - плотность цинка, V0 - объем
полости, V - внешний объем шара. Сила Архимеда равна FA = 0,5 Vp2g, где
р2 - плотность воды. Решая систему уравнений, получим V0= V(1 -0,5р2/р,)
= V(1 -0,5и).
Пример 24. Жидкость течет по трубе переменного сечения (рис. 35). Радиусы
труб Rx и R2. Скорость течения жидкости в первой трубе и,. Найдите
скорость жидкости во второй трубе.
заштрихованные объемы V, = /,5, и V2-или vxAtSx=v2AtS2, или и,лRx =v2nR2
Дано: v 1 > R1 > ^2
Ц2-?
В процессе течения жидкости мысленно выделенное сечение 5, за время At
сместится на расстояние lx=vxAt, а сечение S2 - на расстояние l2 = v2At,
где vx и и2 - скорости жидкости в трубах. Так как жидкость несжимаема, то
l2S2 должны быть равны: lxSx = l2S2,
Откуда v2 = ui(7?i/7?2)2.
Пример 25. По горизонтальной трубе переменного сечения (рис. 36) течет
жидкость плотностью р. Известны скорости и, и и2 жидкости в сечениях 5, и
S2 соответственно. Определите давление жидкости в сечении S2, если
давление в сечении 5, равно рх.
Дано: р, их,и2,рх
р2-?
Мысленно выделим два сечения трубы 5, и S2 (рис. 36), которые за время At
сдвинутся вместе с жидкостью на расстояния 1Х и 12 соответственно.
Воспользуемся
теоремой об изменении кинетической энергии (A WK = ^А) для массы
(О
жидкости, заключенной в объеме между сечениями. Предполагаем течение
стационарным, поэтому изменение кинетической энергии всей массы жидкости
будет равно изменению кинетической энергии масс т, и т2,
X А ш m2U2 mlul ТТ
заключенных в заштрихованных объемах: AWK =-----------------2~ '
^аС"
сматриваемый объем жидкости действуют следующие силы: 1) сила тяжести; 2)
силы давления со стороны стенок трубы; 3) силы давления со стороны
жидкости, которые равны соответственно Fl=plS[ и F2=p2S2, где рх -
давление слева от сечения 5,, р2 - давление справа от сечения S2. Силы
сопротивления на жидкость не действуют, так как жидкость считаем
идеальной. Работа сил давления со стороны стенок трубы и работа силы
тяжести равны нулю, так как эти силы перпендикулярны перемещению. Работы
сил давления F, и F2 отличны от нуля и рассчитываются по известным
формулам:
A(Fl) = FlllcosO°=plSlll; A(F2) = F2l2cos 180° = -p2S2l2.
Заштрихованные объемы жидкостей могут быть получены с помощью следующих
равенств: V, = Slll; V2 = S2l2, а их массы соответственно равны /и, =
pV,; т2 = pV2. Так как жидкость несжимаема, то Vt = V2=V и,
следовательно,. ml-m2 = pV. Теорема об изменении кинетической энергии
запишется в виде
m2u2 mxux pVu2 pVuf
-J2-----------= Pi'Vi ~ , или --------Y~ = PlV-p2V.
Откуда p2 = Pl -p"' 2"2 .
л P^l P^2 /~\
Ответ в задаче можно переписать в виде -+ рх= -^=- + р2. Откуда следует,
что при стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости выражение + р