Сборник задач по физике - Славов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
(0 (О
Н Г К Z
55
где Ри - начальный импульс системы; Рж - конечный импульс системы.
Однако в любой реальной задаче найти замкнутую систему макротел
практически невозможно. При решении задач закон сохранения импульса можно
применять в следующих трех случаях.
1. Если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю,
то Ри= Рк.
2. Если сумма проекций внешних сил на некоторое направление равна нулю,
то в проекции только на это направление можно записать
р - р "л р фр р фр
Н X К X > ну к у > н z к Z'
3. Если длительность процесса взаимодействия мала, а возникающие при
взаимодействии силы велики, как например, при ударе, взрыве и т. п., то
за это малое время импульсом внешних сил можно пренебречь; импульс
каждого тела системы практически меняется только под действием внутренних
сил и импульс системы тел остается постоянным.
Иногда для обоснования применимости закона сохранения импульса приходится
пользоваться одновременно условиями 2 и 3.
Пример 8. Молот массой т свободно падает с высоты h на наковальню и
абсолютно неупруго (без отскока) взаимодействует с ней. Определите силу
удара, если его длительность т.
а)
Рис. 16
Дано: т, h, X.
(2-?
Под силой удара будем понимать силу Q, действующую на наковальню со
стороны молота. Согласно третьему закону Ньютона, сила реакции N,
действующая на молот (рис. 16, а), равна силе удара Q, или в векторном
виде N = -Q. Запишем для молота второй закон Ньютона в
56
виде Ар = ^Fj At. Тогда получим Рг~Р\ =(& + mgfz, где
I <' " J
р} = mv - импульс молота непосредственно перед ударом, а рг = О (молот не
отскакивает, рис. 16, б).
Спроецируем векторное уравнение на ось X, указанную на рисунке, тогда
получим - mv = (mg - N)t , где и- скорость молота перед ударом. Ее можно
найти из кинематического соотношения v = ^2gh . Из
последних двух выражении найдем силу удара Q-N - -5-------------+ mg.
т
Пример 9. Пушка, стоящая на гладкой горизонтальной плоскости, стреляет
под углом а к горизонту. Масса снаряда т, его скорость V. Какую скорость
й приобретает пушка при выстреле, если ее масса М ?
Дано: т, v, а, М
Рис. 17
Рассматриваемая система тел состоит из пушки и снаряда. На рис. 17, а
показано состояние системы до выстрела, а на рис. 17,6 - после выстрела.
Система заведомо не является замкнутой: в процессе движения снаряда в
канале ствола реакция плоскости N будет больше силы Mg. Однако проекция
этих сил на ось X равна нулю, поэтому Рнх-Ркх, где Рнх=0 (система до
выстрела покоилась), Ркх= =-Ми + mucosa. Из уравнения 0=-Ми + mucosa
найдем скорость отката
пушки и = ~-ucosa. Подчеркнем, что Риу*Рку и РИ *РК.
57
Пример 10. Человек массой т переходит с носа лодки на корму. Определите,
на сколько сместится лодка относительно берега, если масса лодки М, а ее
длина I. Трение между лодкой и водой пренебрежимо мало.
а)
v
?
I-S
б)
i
Рис. 18
Дано:
т,М,1
S-7
Рассматриваемая система тел состоит из лодки и человека (рис. 18).
Внешние силы (тяжести и архимедова) скомпенсированы, поэтому можно
записать РИХ=РКХ. Вначале лодка покоилась: Рнх=0. Когда человек идет со
скоростью и относительно берега, лодка движется со скоростью й (рис. 18,
а).
Таким образом, PKX = mv-Mu. За
время t лодка проходит путь S=ut, человек проходит расстояние l-S=vt
т
(рис. 18,6). Из полученной системы уравнений найдем S =
т + М
Пример 11. Свернувшаяся в кольцо кобра длиной / лежит на весах. Кобра
начинает равномерно со скоростью v поднимать вертикально вверх голову. В
произвольный момент времени в процессе подъема весы показывают Q. Найдите
массу змеи.
Дано: v, I, Q
М- ?
Кобру можно представить как совокупность бесконечного множества
материальных точек. Воспользуемся законом изменения импульса,
который запишем в виде АР =
(О
At . В за-
58
даче закон имеет вид АР = [Mg + N^At, где N - нормальная реакция
со стороны площадки весов. Найдем АР. Пусть в момент времени t часть
кобры массой т движется вверх со скоростью v (рис. 19). В этот момент
импульс кобры равен р{ = mv . В момент времени t+At вертикально вверх
будет подниматься масса кобры, равная т+Ат, где
. М М _
Aqt=-vAt, М - масса кобры, - - масса единицы длины кобры.
Импульс кобры в момент t+At р2 = (m + Am)v. Тогда
Ар = р2 - рх = Amv и закон изменения импульса имеет вид
Amv = {Mg + n)ai . После подстановки Ат получим уравнение
м - Ст М
v-v=Mg + N, из которого в проекции на ось а имеем v-v =
= -Mg + N. Используя третий закон Ньютона Q = N, найдем массу коб-
ры М =-------
g + v /I
7. Импульс. Изменение импульса. Закон сохранения импульса
7.1. Два шара массой т, = 2кг и т2 = 3кг скользят по гладкой
горизонтальной плоскости со скоростями ц, = 6 м/с и v2 = 4 м/с, причем
v{±v2.
Найдите вектор импульса Р системы, состоящей из этих шаров, т. е. модуль
|р| и направление результирующего импульса (угол а между Р
и Pi = mft).
7.2. Два одинаковых шарика массой т = 2 кг движутся в горизонтальной
плоскости с одинаковыми скоростями v=4 м/с: 1) вдоль одной прямой
