Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Славнов А.А. -> "Введение в квантовую теорию калибровочных полей " -> 8

Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.

Славнов А.А., Фадеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей — М.: Наука, 1978. — 238 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievkvantovuuteoriu1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 67 >> Следующая

снабжать индексом п, так что ф" = ря. Вырождение снимается, если мы сузим
пространство конфигураций и будем рассматривать лишь поля ф,
асимптотически при больших |*| совпадающие с одним из срп. Такой выбор
разрушает, разумеется, инвариантность относительно преобразований SU(2) с
постоянными параметрами (изотопическую инвариантность). Можно убедиться,
что это условие не противоречит динамике, и что теории, отвечающие
различным выборам срп, физически эквивалентны. Читатель, знакомый с
теорией твердого тела, несомненно, увидит здесь аналогию с теорией
ферромагнетика, где для формулировки теории приходится выбирать
направление вектора спонтанной намагниченности.
Выберем для определенности п направленным вдоль третьей оси: п = (0, 0,
1). Тогда соответствующий вектор Ф" равен (0, 0, ц).
Переход к полям ф(х) с нулевой асимптотикой на бесконечности
делает нарушение изотопической симметрии явным и лагранжиан принимает вид
+ mi (Хдцф2 - X<W) + gmi [ф3 [(X)2 + (Л2)2] -
фМ->ф" + фМ
(3.16)
SB = S?VM + j (У^фа)2 + [(Л;)2 + (Л2)2] +
т\ - М; т2 - 2 л/2 Ац.
(3.17)
26
ГЛ. I, ВВЕДЕНИЕ
Хотя изотопическая инвариантность нами явно нарушена, лагранжиан и
граничные условия инвариантны относительно локальных калибровочных
преобразований с функциями (c)(я), стремящимися к единице на бесконечности.
Приведем явный вид калибровочных преобразований в новых переменных,
ограничиваясь инфините-зимальными преобразованиями
бф° (х) = - geabcq>b (х) а° (х) - nii&a3cac (х). (3.18)
Чтобы проанализировать спектр масс, порождаемый лагранжианом (3.17),
необходимо выбрать представителей в калибровочно эквивалентных классах
полей ^р,(х), ф(х), т. е. фиксировать калибровку. Удобно в качестве
калибровочного условия выбрать
ф1 (х) = 0; ф2(х) = 0; дцЛ^(х) = 0. (3.19)
Можно проверить, что для достаточно малых ф3(х) усло-
вие допустимости выполнено. Действительно,
б (<5цД1) = ? а3 - ge3bcdll [Л^ас] (3.20)
и бф1'2 определяются формулой (3.18). В результате оператор М,
соответствующий нашей калибровке, имеет вид
/а'\ / °- g<f2\/ai\
М\ а2 ) = ( 0, -g-ф1 j tt2 )
Ча3/ Ч ^у!2 + Л2^, ? J\a3J
(3.21)
При малых ф детерминант оператора М представляется в виде
det М = т\ det ? + О (ф). (3.22)
Поскольку первое слагаемое отлично от нуля, в рамках теории возмущений
det М Ф 0, и условие допустимости выполнено.
Выпишем теперь явно квадратичную форму, определяющую спектр масс:
я*=-1 - д"А°у+4 ((¦<)2+<^)2)+
+ J ^Ф3<5ЙФ3 - -у- (ф3)2- (3.23)
§ 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
27
Как видно, в классическом приближении наша теория описывает два массивных
векторных поля, одно без-массовое векторное поле и одну массивную
скалярную частицу. Таким образом, действительно, два векторных поля
приобрели массу, зато из списка частиц пропали кванты двух скалярных
полей.
Нетрудно построить St/(2) калибровочно-инвариантную модель, в которой все
три векторных поля приобретают ненулевую массу. Для этого нужно
рассмотреть мультиплет комплексных скалярных полей в двумерном
(спинорном) представлении
''*-(?)¦ "+=о;. чо- <з-24>
Калибровочно-инвариантный лагранжиан имеет вид
2 = seYM + (УцФ)+ У^ф - А,2 (ф+ф - v?f, (3.25)
где
Vp = <Vp + у ЯтМ^ф, (3.26)
и калибровочное преобразование полей ф задается формулой
бф (*) = giaaa {х) ф (х). (3.27)
Так же, как и в предыдущем случае, устойчивый экстремум отвечает
постоянному ср, такому, что
ф+ф = ц2. (3.28)
Мы видим, что в этом случае многообразие устойчивых экстремумов является
трехмерной сферой S3. Чтобы снять вырождение, выберем в качестве минимума
Ф (*) = (?)• (з-29)
Можно проверить, что условие
ф! (х) = 0; Im ф2 (х) = 0 (3.30)
является допустимой калибровкой. В этой калибровке остается только одно
скалярное поле Re ф2 (х) = -4=- а (х).
л/2
28
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Переходя к полям с нулевой асимптотикой на бесконечности,
о (х) -> л/2 р + а (х), (3.31)
получаем лагранжиан
л
3?= - jKvKv+ КК + ^д^д^а-^mid2-\-
_i_ аА* Аа + а2АаАа - ^ 03 "Ч <
+ 2 оАЖ + g а АЖ а ~-^о,
т{ - -^L-; т2 - 2Хц, (3.32)
V2
описывающий взаимодействие трех массивных векторных полей и одного
массивного скалярного поля.
Описанный только что механизм будет использован в дальнейшем для
построения калибровочно-инвариантных объединенных моделей слабых и
электромагнитных взаимодействий. На этом мы заканчиваем рассмотрение
классической теории Янга - Миллса и переходим к его квантованию.
Глава II •
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ В ТЕРМИНАХ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА
Существует несколько подходов к квантованию теории поля. Наиболее часто
используется операторный метод квантования, при котором классическим
полевым конфигурациям соответствуют операторы, удовлетворяющие
каноническим перестановочным соотношениям. Существует, однако, и другой
подход, в котором квантовая динамика описывается континуальным интегралом
- суммой по всем полевым конфигурациям. При помощи этого подхода Фейнман
впервые сформулировал последовательную явно релятивистски инвариантную
теорию возмущений для квантовой электродинамики. Этот формализм
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed