Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
можно записать в виде
шф (х) ф (х) = шфй (х) ф* (х). (3.3)
22
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Далее
(Ч*ф (х))к = д^к (х) - (Г (st-ц (x)))kt if; (*), (8.4)
где (Г (^Д)ы = Л^(Г(Г°))И и матрица (Г(Та))ы, которую в дальнейшем будем
обозначать просто Тки есть матрица генератора Т" в представлении,
реализуемом полями ф(х). Тогда
Ъ (*) (х) = фй (х) yu М ~ A-l (х) Г^Ф, (х)). (3.5)
Например, пусть калибровочная группа Q - SU{2), а поля ф (х) реализуют
фундаментальное представление этой группы. Тогда
(TW)" = -{^(4. (з.б)
где ха - матрицы Паули, и полный лагранжиан имеет вид
3 = - -^2 {дчАр - д+ еа6сЛц,Л^) +
+ "'ФУц (йцф + Л?таф) - тфф. (3.7)
Для случая, когда калибровочная группа определяется группой SU(3), а
спиноры ф(х) реализуют ее фундаментальное (спинорное) представление,
аналогичный лагранжиан имеет вид
32 - -(дуА)1 - d\x.Av + ГЬса№)
+ /фУц (<ЗцФ + J Л?А,аф) - "*ФФ. (3.8)
где fabc - структурные константы группы SU(3), а мат-рицы Ха - хорошо
известные матрицы Гелл-Манна
§ 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
23
Перенормировкой полей
Al(x)^gAZ(x) (3.10)
лагранжианы (3.7), (3.8) приводятся к более привычному виду, где g входит
только во взаимодействие.
Последний лагранжиан используется, например, в теории сильных
взаимодействий. При этом спиноры ф отождествляются с полями кварков, поля
Янга - Миллса называют "глюонами", а внутреннее пространство в этом
случае называют пространством цветов.
В рассмотренных выше примерах, когда калибровочная группа простая, все
взаимодействия характеризуются одной константой связи. Такая
универсальность взаимодействия является характерной особенностью теории
Янга - Миллса.
Следующий полезный пример - взаимодействие поля Янга - Миллса со
скалярным полем. Пусть мультиплет скалярных полей ф*(х) реализует
вещественное представление Г (со) простой компактной группы Q. Тогда
калибровочно-инвариантный лагранжиан имеет вид
& = 3?ym + у УцфУцФ - -у- ФФ - F (ф), (3.11)
где ковариантная производная V^cp строится так же, как и выше,
V^qp = дцФ - Г (stj ф, (3.12)
срср, как и прежде, обозначает скалярное произведение в зарядовом
пространстве, а У(ф)-инвариантная по отношению к группе Q форма третьей и
четвертой степени по полям ф.
В случае, если Q = 517(2), а поля ср реализуют присоединенное
представление ф = ф°, а = 1, 2, 3, соответствующая формула принимает вид
гс гс I 1 Га о. abc лЬс\2 т? а а ,2/ а а\2
& = &YM + у (Лф - ge Ахф )----------2" Ф Ф - я (ф Ф ),
(3.13)
где параметры т и Я2 играют роль массы и константы контактного
взаимодействия скалярных полей. Сам по себе лагранжиан (3.13) по-видимому
мало интересен для физических приложений, однако, его незначительная на
первый взгляд модификация приводит к чрезвычайно
24
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
интересной возможности описания массивных векторных полей в рамках теории
Янга - Миллса. Этот механизм появления массы векторного поля называется
эффектом Хиггса. К его обсуждению мы сейчас и перейдем.
Будем продолжать использовать в качестве примера калибровочную группу
SU(2). Рассмотрим сначала случай, когда скалярное поле принадлежит
присоединенному представлению. В качестве функции Лагранжа возьмем
& = &ум + j (Vp,qpa)2 - Я2 (ф"фа - р2)2. (3.14)
Этот лагранжиан отличается от рассматривавшегося ранее лагранжиана (3.13)
постоянным слагаемым -Я2р4 и знаком квадратичного по ф члена. На первый
взгляд лагранжиан (3.14) описывает частицы мнимой массы и поэтому не
имеет физического смысла. Однако такой вывод поспешен. Квадратичное по ср
слагаемое играет роль массы только в том случае, если ф == 0 является
положением устойчивого равновесия, т. е. минимумом потенциальной энергии.
В нашем случае потенциальная энергия имеет вид
и (Л. ф) = \ [ik Wh + т v^"v^e+я2 ^ d3x>
l,k= 1,2,3, (3.15)
и конфигурация ф" = О, = 0 является седловой точкой. Соответствующее
положение равновесия неустойчиво. Однако существуют и устойчивые
положения равновесия; ими являются конфигурации, отвечающие нулевым и
постоянным ф, имеющим фиксированную длину Ф2 = р2. Такие ф обращают в
нуль все три положительных слагаемых, из которых состоит потенциальная
энергия. (Заметим, что помимо этих конфигураций, минимумами, разумеется,
являются и конфигурации, получающиеся из них в результате калибровочного
преобразования. Однако в силу принципа относительности эти конфигурации
не содержат новой физической информации, и мы их рассматривать не будем.)
Помимо этих трансляционно инвариантных минимумов потенциальная энергия
имеет и другие, отвечающие,
§ 3, ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
25
например, монополям т' Хоофта - Полякова. Однако значения энергии для
этих конфигураций выше, так, что они являются лишь локальными минимумами.
Для того чтобы определить настоящие массы, нужно разложить потенциальную
энергию в ряд Тейлора в окрестности истинного минимума. В нашем случае
положение равновесия вырождено. Минимальные конфигурации образуют
двумерную сферу S2, точки которой соответствуют направлениям постоянного
вектора ср. Эти направления будем обозначать буквой п и соответствующие ф
