Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Гл' и Гл< тензорных структур через D, gTs, ?2Г4. Эти функции безразмерны
и, следовательно, их можно представить в виде
( k2 от2 Л ( k\ kl т2
D==D\T' X' Гз==Гз VX • • • "Г' X' ?/'
(k\ '-2 2 ' (2,3)
Щ^=р2,
ё2
к\0
к
kp
щ
т2 \
' х- S).
(р + qf и т. д.,
где К точка вычитания. (Инвариантные переменные выбраны так, чтобы
функции Г; были вещественны при k2 = X < 0.) Тогда условие независимости
теории от выбора точки вычитания при одновременном компенси-
§ 2. асимптотическая свобода
рующем преобразовании заряда (ренорминвариантно-сти) можно записать в
виде
n (k2 тг \ г" (& т2 \
Dll7' 17' S*) = z*D{Tr 17- ?¦)'
(Щ_ \
з \хг л2 ' х2 ' ё2)
(k2, т2 Л
"^Г'ГзСяГ ••• 5СГ- ТЕГ- {2Л)
(Щ_ п?_ \
4 Ч Я2 • ¦' Л2 ' Х2 ' g2J
¦¦¦%¦?¦ ".)•
ff2 = ZlZ2_V,ffl-
Будем считать, что эти функции нормированы условием D, Г3, Г4== 1 (2.5)
k2
при xt - - = 1.
Из уравнений (2.4) и условия нормировки следует, что п / Я| т2 \
22 = 417' 17' *)•
,-1_г ('A. Al Al ilA "i
3 x2 - я2 ' A2 ' l2 ' H2) •
Поэтому вводя безразмерные переменные k2, тг Я,
*г===17' у==!7' /==17' ^ ^
систему (2.4) можно записать в виде
П(х, г/, g) - D(t, у, g)?>(y, у, g(/, у, g)),
Г3(*i ••• лг3, у, g) =
= Г3(/ ... /, у, Я)Г3(-^ ... ^, g(f, у, g)). (2.8)
Г4(х, ... дгщ, у, g) = = Г4(/ ... 7 г/, g)l'4(yL ... у, g(t, у, g)).
224 ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
где функция g(t, у, g)
gif, У, g) = gT3(t ... t, у, g) [D (t, у, g)f' (2.9)
инвариантна относительно преобразований (2.4). Эта функция называется
инвариантным зарядом.
Нас будут интересовать эти уравнения в глубоко евклидовой области xi =
y,xi, и-"-оо. Будем считать также, что
| |" т2. (2.10)
Можно показать, что в перенормируемых теориях ведущие члены в асимптотике
функций Грина в указаниях области не зависят от массы и поэтому в
уравнениях
(2.8) можно положить у - 0.
Систему (2.8) удобно переписать в дифференциальной форме. Дифференцируя
уравнения (2.8) по 1 и полагая t= 1, получаем
(&)^) ?(***> 8) = $2 (g)D(xxt, g),
(*ir-Pte)-k)Гз{n2t' g) = {g) Гз(xjE/* g)> (2Л 1}
-P(g)-^:) Г4(ххь g) = ^4(g) Г4(хх;, g),
= (2.12)
где
Ые)-'h<*>--?Trs4-r (2-l3>
Аналогичные уравнения можно, очевидно, написать и для старших функций
Грина Г"(ххь ... ,хх/, g). Наиболее простому уравнению удовлетворяет
инвариантный заряд g. Дифференцируя условие инвариантности
§Ы, g) = g (у. g(t, g)) (2-14)
по t и полагая t= 1, имеем
(x-^-p(g)^)g(x, g) = Q. (2.15)
Граничное условие имеет вид
gU. g) = g- (2.16)
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СВОБОДА
225
Другую полезную форму уравнения для инвариантного заряда можно получить,
дифференцируя (2.14) по х и полагая затем х = t. Получаем таким образом
*Jf-№> (2-17)
или, в интегральной форме,
?(и. г)
5 iw=ln"- (218)
g
С помощью уравнения (2.15) легко выразить решение системы (2.11) через
инвариантный заряд. Общее решение имеет вид
Г"(кхг, g)=r"(хг, g)expjj d%'tyn[g {%', g)]^')-1 j- (2.19)
Из этой формулы следует важный вывод: в асимптотической области
эффективным параметром, характеризующим силу взаимодействия, является
инвариантный заряд g. Поэтому чтобы получить информацию об
асимптотическом поведении функции Грина, нужно знать, как ведет себя g.
Из уравнений (2.15), (2.17) следует, что поведение инвариантного заряда
определяется свойствами функции P(g). Если p(g) положительна, то
с ростом х инвариантный заряд тоже растет. Если при
некотором g функции p(g) обращается в нуль, и интеграл в левой части
(2.18) расходится, то, следовательно, правая часть должна обращаться в
бесконечность. Другими словами, при х->оо, g(x, g)->go, где go - нуль
функции р. Если функция р не имеет нулей при g > g, то при х->оо, g-+ оо.
При отрицательных p(g) ситуация обратная. С ростом х функция g(x, g)
убывает. При этом, если функция р (g) обращается в нуль при g = g0 < g,
то при х ->¦ оо, g-*g0.
Таким образом, нули функции р могут быть стабильными и нестабильными.
Если константа улежит в окрестности "стабильного" нуля, g0, то с
увеличением х инвариантный заряд g(x, g) стремится к g0. В нестабильной
ситуации с ростом х инвариантный заряд уходит
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
все дальше и дальше от go. Он стремится к следующему стабильному нулю
либо к бесконечности. Оба этих случая изображены графически на рис. 19.
Из этого рисунка очевидно, что стабильные и нестабильные нули чередуются
между собой.
На практике единственный надежный способ вычисления p-функции дает теория
возмущений. Поэтому
Рис. 19. Стабильный и нестабильный нули {5-функции.
реально мы можем судить лишь о ее поведении в окрестности точки g - 0.
Если в окрестности g = 0 р-функ-ция отрицательна, то с увеличением х
инвариантный заряд стремится к нулю. В этом случае говорят, что нуль
является ультрафиолетово стабильной точкой, а теория асимптотически
свободна. Последнее означает, что с ростом энергии эффективное
взаимодействие становится все слабее, и на малых расстояниях частицы
ведут себя как свободные. В случае, когда функция р положительна вблизи
