Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Наш косвенный вывод формулы (2.8) подтверждается прямой проверкой, если
воспользоваться явным выражением для ZT^ix) через ^д(х) (2.5) и законом
преобразования М-д(х) (1.16). На этом мы заканчиваем краткое описание
геометрического смысла полей Янга - Миллса: они описывают параллельный
перенос векторов в зарядовом пространстве, а тензор ЗГ^(х) является
тензором кривизны этого пространства. Читатель, знакомый с теорией
тяготения, теперь уже, без сомнения, убедился в полной аналогии между
^д(х) и символами Кристоффеля и ?ГцЧ(х) и тензором кривизны
гравитационного поля. Чтобы завершить эту аналогию, укажем,
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
19
что тензор WixvM является коммутатором ковариант-ных производных
^vW = [V"Vv] (2.9)
и тождество Якоби
[ К, Vv], Ve] + циклическая перестановка = 0 (2.10)
приводит к тождеству
Vo^v (х) + циклическая перестановка = 0, (2.11)
где Vor(а) - ; цv (а) (а"), (IV (а^)], которое
является аналогом тождества Бьянки в теории тяготения. Аналогичное
рассмотрение можно провести и в случае абелевой группы U( 1). В этом
случае
(XV С*-)= (х) <3(i^v (х) - i (<3vA(t (х) 5(iAv (х)),
(2.12)
что, очевидно, совпадает с тензором напряженности электромагнитного поля.
Трактовка ^~^ч(х) как кривизны в зарядовом пространстве, идущая от Фока и
Германа Вейля, представляет собой наиболее естественный подход к
геометризации электромагнитного поля. Многочисленные попытки связать это
поле с геометрическими свойствами самого пространства-времени никогда не
имели успеха.
В заключение этого параграфа скажем несколько слов о классической
динамике поля Янга - Миллса. Наша задача - построить калибровочно-
инвариатную функцию Лагранжа, совпадающую в случае абелевой группы U (1)
с лагранжианом электромагнитного поля
= ^(iv -J- 2Ем (ф, V,i\])), (2.13)
где 3?м описывает калибровочное инвариантное взаимодействие полей ^ц(ас)
и i))(i) и получается из свободного лагранжиана полей ф заменой обычных
производных на ковариантные, а е играет роль электрического заряда. Эту
формулу легко переписать в более привычном виде, если изменить нормировку
полей
М -> (х).
(2.14)
20
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
В этом случае множитель е~2 исчезает из первого слагаемого, но зато
появляется в выражении для ковариант-ной производной
-> (Зц
В дальнейшем мы будем пользоваться обоими способами нормировки поля s^-
^x), не оговаривая это особо.
Естественным (и единственным) обобщением формулы (2.13) на случай простой
неабелевой калибровочной группы является
3 ~ 3* м СФ" ^ф). (2-15)
Первое слагаемое можно переписать также в виде
S = p-FSvFSv, (2.16)
где Fftv(x)- компоненты матрицы 3FVLy(х) по отношению к базису Та.
Очевидно, что этот лагранжиан инвариантен относительно калибровочных
преобразований
(1.15), (1.16). В случае полупростой группы общего вида лагранжиан
содержит г произвольных констант
gi, i = 1 г, где г - число инвариантных простых
сомножителей. В этом случае формула, аналогичная
(2.16), принимает вид
<2Л7>
где i - номер простого сомножителя.
В отличие от электродинамики, лагранжиан (2.16) поля Янга - Миллса в
пустоте (т. е. при отсутствии полей ф) содержит наряду с квадратичными по
полям членами также и члены более высокой степени. Это означает, что поля
Янга - Миллса имеют нетривиальное са-модействие. Другими словами, кванты
поля Янга - Миллса сами обладают зарядами, взаимодействие которых они
переносят. Основная специфика динамики поля Янга - Миллса связана именно
с этим самодействием, так что ниже при рассмотрении общих вопросов мы
часто будем ограничиваться моделью поля Янга - Миллса в пустоте.
§ 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
21
Уравнения движения, возникающие из лагранжиана
(2.16) для поля Янга - Миллса в пустоте, имеют вид
[^ц> ^~ц\] = 0| (2.18)
и, будучи записанными через
? *^v + [*^ц> (^V^n - ^v])] -
-^[^,^] = 0, (2.19)
представляют собой систему уравнений второго порядка. Эти уравнения
калибровочно-инвариантны в следующем смысле: если решение (2.19), то
также решение для произвольной со (дс). Это означает, что стандартная
параметризация решений через начальные данные №и(х> 0. <5о^р.(^> 0 при
фиксированном t) для системы
(2.19) непригодна. После наложения калибровочного условия это
препятствие устраняется, однако начальные данные уже не произвольны, а
связаны калибровочными условиями.
Модели взаимодействия поля Янга - Миллса с полями материи будут
рассмотрены в следующем параграфе.
§ 3. Динамические модели с калибровочными полями
Проще всего выглядит лагранжиан, описывающий взаимодействие поля Янга -
Миллса со спинорными полями. Пусть мультиплет спинорных полей ф*(х)
реализует представление Г (со) простой компактной калибровочной группы Q.
Тогда лагранжиан имеет вид
& = &ym + г'Ф (х) УцУцф (х) - тф (х) ф (х). (3.1)
Здесь мы используем следующие обозначения: S'гм - это уже знакомый нам
лагранжиан поля Янга - Миллса в пустоте:
(3.2)
В скалярном произведении двух спиноров подразумевается суммирование по
индексам, отвечающим внутренним степеням свободы, например, массовый член
