Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
механизма Хиггса все физические частицы могут приобрести ненулевые массы.
В то же время вид взаимодействия спинорных полей с векторными,
ответственный за появление аномалий, не меняется. Поэтому все рассуждения
относительно компенсации аномалий остаются в силе.
Аномальные тождества Уорда могут возникать и в неабелевых калибровочных
теориях. Пусть, например, спинорные поля ф калибровочно-инвариантным
образом взаимодействуют с полем Янга - Миллса
& = i&v(dll-SraO*+ <9Л6>
и ... обозначает лагранжиан поля Янга - Миллса, а также, возможно,
калибровочно-инвариантное взаимодействие полей Ац, ф со скалярными
полями. Последнее может отвечать как симметричной теории, так и теории со
спонтанно нарушенной симметрией.
Матрицы Га реализуют представление алгебры Ли
[Га, Г6] = tabcTc (9.17)
и могут включать также матрицу у5. Дивергенция трехточечной вершинной
функции Грина вычисляется точно так же, как в абелевом случае.
Единственное отличие состоит в появлении дополнительного множителя, про-
§ 9. АНОМАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
207
порционального следу произведения стоящих в вершинах Г матриц:
i (Р + <?)о rpva (р, q) =
= const tr {Ys [Га, Гь]+ Гс} (9.18)
Если множитель
АаЬс = Ь{уЛГа, Гь]+Гс} (9.19)
отличен от нуля, то функция не удовлетворяет обобщенным тождествам Уорда,
что приводит к потере
калибровочной инвариантности перенормированной теории.
Проанализируем, в каких случаях Ааъс равно нулю. С этой целью введем
вместо матриц Га киральные матрицы Т±
Г"=л0 +Vs)T+ + i(l -УС)Т-, (9.20)
где Т± уже не содержат матрицу у5.
Множитель Ааьс можно теперь представить в виде
АаЬс = 2 - АаЬс). (9.21)
где
Atbc = tr{[Tt Tt\Tf). (9.22)
Ааьс очевидно обращается в нуль, если Л+ = А~. Это заведомо выполнено,
если представления Та унитарно эквивалентны:
Та = UTaU + , (9.23)
где U - унитарная матрица. В этом случае, выбирая другой базис спинорных
полей, взаимодействие можно переписать в чисто векторном виде:
ФУцГаФ - 4 Н {(1 + YS) Т+а + (1 - Ys) т~) ф =
= (9-24"
где
Ч>' = у(1 + Уб)*+jO-YeW (9-25)
208 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
При таком переопределении полей ф -^-матрицы появляются в массовых
членах. Отсутствие аномалий в таких моделях совершенно естественно. В
базисе ф' калибровочные преобразования уже не содержат матрицы у5 и
поэтому к ним применима описанная ранее процедура инвариантной
регуляризации, позволяющая строго доказать обобщенные тождества Уорда.
Конкретный вид калибровочной группы при этом не существен.
Подобные модели называются "векторно подобными", поскольку при больших
энергиях, существенно превышающих все характерные массы, они ведут себя
так же, как модели с чисто векторным взаимодействием.
Унитарная эквивалентность Т+ и Г_ не является необходимой для отсутствия
аномалий. Для этого достаточно выполнения равенства (9.21), которое может
выполняться и по другим причинам.
Аномалии отсутствуют и в том случае, если Atbc = АаЬс - 0, что имеет
место для некоторых калибровочных групп. Достаточным условием для этого
является вещественность представлений, реализуемых матрицами Tt•
(Представление называется вещественным, если оно унитарно эквивалентно
своему комплексно сопряженному.) В этом случае
tr {[Г?, riV?} = tr{[(7?)-, (т?л+(г?)-} =
= -tr , rf]+rf} = 0. (9.26)
Такая ситуация осуществляется для алгебр SU(2); SO(N), N >5, N ф 6;
S0(2N), А> 3;
(9 27 )
С(2); Е(4); Е(7); Е(8),
все представления которых вещественны. Для алгебры SU (3) _аномалин
отсутствуют лишь для представлений 8 и 3 + 3.
В неабелевых теориях аномальными могут быть также однопетлевые диаграммы
с четырьмя внешними векторными линиями. Если же в данной модели все
однопетлевые диаграммы удовлетворяют нормальным тождествам Уорда, то
многопетлевые диаграммы заведомо свободны от аномалий. Это, как мы уже
отмечали,
§ 9. АНОМАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
209
непосредственно следует из того, что регуляризация с помощью высших
ковариантных производных регуля-ризует многопетлевые диаграммы в любой
калибровочной теории, в том числе содержащей 75 преобразования. Поэтому
многопетлевые диаграммы автоматически удовлетворяют нормальным тождествам
Уорда.
Приведенная классификация "нормальных" и "аномальных" теорий в равной
мере относится и к теориям со спонтанно нарушенной симметрией. В
аномальном случае унитарная и перенормируемая калибровки соответствуют
физически не эквивалентным теориям. В унитарной калибровке теория
неперенормируема и потому в рамках теории возмущений не имеет смысла.
Наоборот, в перенормируемой калибровке теория возмущений строится без
труда, однако 5-матрица не унитарна в пространстве физических состояний.
Тем самым требование отсутствия аномалий накладывает жесткие ограничения
на возможные калибровочно-инвариантные модели.
Глава V
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
В этой главе мы обсудим возможные приложения калибровочных теорий к
описанию взаимодействий элементарных частиц. Экспериментальная ситуация
