Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 18. Аномальная трехугольная диаграм-
aHi
(*l)
б/"
(Хп)
= 0,
п> 2,
(9.6)
/, Т|=9
явно демонстрирующее отсутствие переходов между поперечно и продольно
поляризованными состояниями. В действительности нас интересуют не
"наивные" тождества (9.4), которые, строго говоря, не имеют смысла из-за
расходимости участвующих в них интегралов, а соответствующие соотношения
для перенормированных функций Грина. В электродинамике, а также в
обсуждавшихся выше неабелевых моделях перенормированные функции Грина
удовлетворяют обобщенным тождествам Уорда, отличающимся от "наивных" лишь
перенормировкой участвующих в них зарядов и масс. В модели (9.1) это не
так. Функция Грина с тремя внешними векторными линиями, соответствующая
диаграмме, изображенной на рис. 18, ни при каком выборе локальных
контрчленов не удовлетворяет "наивным"
204
ГЛ. IV. перенормировка калибровочных теории
тождествам (9.4). Тождество (9.6) означает, что фурье-образ трехточечной
собственной вершиной функции Т^а(р, q), определенный равенством
Fnvu (р, q) (р) Gvv' (q) Gaa' (р -f- ф =
= jj eipxeiqy ( 6/(i, (А.) б/у, (у) bJa, (0) ) dx ay, (9.7)
должен быть поперечен:
Pal\va (р> Ф = ^vFpva (Р, q) = (p + Фа Fjxva (Р, Ф = 0. (9.8)
Явное вычисление Г^оФР'Р) дает с учетом того, что функция Гцга(р,q)
симметрична относительно аргументов (р, (т), (р,л>), (- (p + q),a),
i (Р + Фа Fjiva (Р, Ф = - -Ёё eaVafSPa^l3 Ф 0 • (9.9)
Поскольку диаграмма на рис. 18 имеет индекс, равный единице, функция
r(iVa(P. Ф) определена с точностью до полинома первой степени по р и q.
Можно было бы попытаться воспользоваться этим произволом, чтобы обратить
правую часть равенства (9.9) в нуль. Легко видеть, однако, что это
невозможно. Наиболее общее выражение для перенормированной трехточечной
вершинной функции имеет вид
Fnva(P> Ф == Fpiva (Р> Ф "I" ^l(r)nvapPp "Т ^2(r))iva0^f5 > (9.10)
где Гцуа(Р^) - симметричная вершинная функция, удовлетворяющая
соотношению (9.9). Потребовав, чтобы функция Гцл>а также была симметрична
относительно аргументов (ц, р), (v, q), (a,-(p-\-q)), получаем
С\ - с2 - 0. (9.11)
Таким образом, никаким выбором локальных контрчленов невозможно добиться
выполнения тождества
(9.8) для перенормированной вершинной функции. Вследствие этого
вероятность перехода из поперечно поляризованных состояний в продольные
отлична от нуля. Модель, описываемая лагранжианом (9.1), не са-
мосогласована. Указанная трудность присуща всем теориям, инвариантным
относительно абелевых калибро-
§ 9. АНОМАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
205
вочных преобразований, в которых участвует матрица Ys- Существует,
однако, класс моделей, для которых эту трудность можно обойти. Пусть,
например, в модели (9.1) помимо поля гр участвует еще поле г|/,
взаимодействующее с векторным полем так же, как и ф, но отличающееся от
последнего знаком заряда,
9? = -\ (д^Ар - (\Avf + г'ФУц (д - igAy5) тр +
+ *Ф% (д + Ys) Ф'- (9-12)
Тогда наряду с диаграммой на рис. 18 имеется аналогичная диаграмма, в
которой внутренние линии отвечают полям ф'. Из формулы (9.9) видно, что
дивергенция аномальной вершинной функции пропорциональна g3. Поэтому
диаграмма, отвечающая полю ф', даст в тождество (9.9) такой же вклад, но
с противоположным знаком. В результате полная вершинная функция I\va
будет удовлетворять нормальным тождествам (9.8). Непосредственным
вычислением нетрудно проверить, что все остальные однопетлевые диаграммы
удовлетворяют тождествам (9.8). Что касается диаграмм, содержащих более
одной петли, то для них отсутствие аномалий можно доказать в общем виде.
Действительно, как было показано в § 3, регуляризация с помощью высших
ковариантных производных делает сходящимися все многопетлевые диаграммы в
произвольной калибровочноинвариантной теории. Поэтому, если в
однопетлевых диаграммах аномалии отсутствуют, то многопетлевые диаграммы
заведомо удовлетворяют нормальным тождествам Уорда. Отсутствие аномалий в
модели (9.12) можно объяснить также следующим образом. В лагранжиане
(9.12) можно перейти к новым каноническим переменным
Ф1 = j {(1 - Yg) Ф + (1 + Ys) Ф'};
(9.13)
Ф2 = ~2 W + Ys) Ф + (1 - Ys) Ф'}-
Лагранжиан взаимодействия, выраженный через поля фь ф2, не содержит
матриц у5,
&\ = (ёФ^цФ! - ?ФгУиФ2) Л> (9Л4)
206 гл. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
и представляет собой аналог лагранжиана электромагнитного взаимодействия
двух безмассовых спиноров. Такая теория инвариантна относительно чисто
векторных калибровочных преобразований
(х) -> elga (х), ф! (х) -> e~lga (х),
ф2(х)->-е-'<га(*)ф2(л:), ф2 (х)-> eIga и)ф2 (х), (9.15)
А" (x) -> Ац (x) + айа (x)
и, следовательно, перенормированные функции Грина удовлетворяют
нормальным тождествам Уорда. Подобный механизм компенсации аномалий можно
использовать и в более реалистических моделях, в частности, в моделях со
спонтанно нарушенной симметрией. Если поля ф, ф', взаимодействуют еще со
скалярными полями, то при соответствующем выборе потенциала, за счет
