Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (1.23) представляет собой систему нелинейных уравнений
относительно со(х). Для локальных калибровочных условий это будет
нелинейная система дифференциальных уравнений в частных производных.
Например, для лоренцевой калибровки эта система уравнений выглядит
следующим образом:
и для малых s4-n и а{х) переписывается в виде
? а - [зФр, д"а]+ ... = -<V^n> (1.25)
где точками обозначены члены более высокого порядка по а. Уравнение
(1.25) однозначно разрешимо относительно а в рамках теории возмущений,
если оператор ? = дцдц снабдить подходящими граничными условиями. Такие
граничные условия возникают в процессе описания динамики полей Янга -
Миллса и будут обсуждаться в гл. III. В то же время, вне рамок теории
возмущений для больших полей единственность решения уравнения (1.24)
может пропасть. Обсуждение этой возможности выходит за рамки этой книги.
16
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Необходимым условием разрешимости уравнений
(1.23) является невырожденность соответствующего якобиана. Вариация
калибровочного условия при бесконечно малом калибровочном преобразовании
а задает линейный оператор Мф, действующий на а:
Мфа = ^ ^ ) +
+ ~йу)- Г (а ^ ^)] аУ> -26)
и играющий роль матрицы якобиана условия (1.23). Невырожденность
оператора Мф
с1еШф=#=0 (1.27)
и является необходимым условием однозначной разрешимости (1.23).
Для локальных калибровочных условий Мф является дифференциальным
оператором, получающимся при линеаризации уравнения (1.23). Например, для
ло-ренцева калибровочного условия Мф1 = ML имеет вид
MLа = ? а - д", а].
Этот оператор однозначно обратим в рамках теории возмущений, если
дополнить его граничными условиями. Как мы уже говорили, такие условия
будут обсуждаться в гл. III.
Условие (1.27) мы будем называть условием допустимости калибровочного
условия, и оно неоднократно будет обсуждаться в дальнейшем.
§2. Геометрическая интерпретация поля Янга-Миллса
Описанная выше конструкция допускает красивую геометрическую
интерпретацию, при которой поля Янга - Миллса играют роль, аналогичную
символам Кристоффеля в теории тяготения. Подобно последним поля Янга -
Миллса описывают параллельный перенос в зарядовом пространстве и
определяют кривизну этого пространства. При этом поля ф(х) являются
аналогами тензорных полей.
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
17
Естественный геометрический язык для описания этой аналогии дает теория
расслоенных пространств. Полю Янга - Миллса в этой теории соответствует
понятие связности в главном расслоении. Хотя теория расслоенных
пространств дает наиболее адекватный язык для аксиоматизации классической
теории поля, в этой книге, рассчитанной главным образом на читателя-
физика, мы не будем им пользоваться. Отметим только, что общее понятие
связности, эквивалентное полю Янга - Миллса, появилось в математической
литературе лишь в 1950 году, т. е. почти одновременно с работой Янга и
Миллса.
Поясним теперь, в каком смысле поля Янга - Миллса задают параллельный
перенос. Пусть y(s)-контур в пространстве-времени, задаваемый уравнением
*n = *n(s)- (2-1)
Векторное поле y(s) с компонентами
dx
= (2-2)
является касательным к кривой у (s) в каждой ее точке. Будем говорить,
что поле ф(х) параллельно переносится вдоль y(s). если в каждой точке
контура
MWL(1)^ = o, (2.3)
т. е. ковариантная производная в касательном направлении равна нулю.
При параллельном переносе вдоль замкнутого контура поле ф(х), вообще
говоря, изменяется. Вычислим это изменение для бесконечно-малого контура.
Рассмотрим контур, имеющий вид параллелограмма с вершинами
(.X, X + AlM X + А[Х + Д2д:, х + А2лг).
Нетрудно убедиться, что если ковариантная производная вдоль контура
равна нулю, то полное изменение
ф(х) при обходе этого контура равно
А12ф (х) = Г(@~"v) ф (A^A^v - AixAxn), (2.4)
где
SF[*v = "Ь [*^ц| (2.5)
18
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Действительно, поскольку ковариантная производная вдоль стороны (х, х +
Ai*) равна нулю, приращение ¦ф (лг) при изменении х вдоль первого контура
равно
Ait М = t (* + Aix) - ф (х) = ддфД^д = Г (^д) ф (х) Д^д.
(2.6)
Проделав аналогичные выкладки для других сторон параллелограмма и
пользуясь тем, что Г(^д) линейно зависит от и [Г(^д), f(^v)] = Г([^д,
.$*"!), получаем, что полное изменение ф(х) выражается формулой (2.4).
Эта формула показывает, что &гдУ естественно назвать кривизной зарядового
пространства. При калибровочных преобразованиях Дф(х) меняется так же,
как ф(х). Это следует из того, что при построении Дф(х) мы использовали
только ковариантную производную. Тогда из формулы (2.4) видно, что
Г(Ф~^(х)) преобразуется по закону
Г (^v (*)) -> Г (со (х)) Г (<F"V (х)) Г (ш-1 (х)). (2.7)
Тем самым само tF^ix) при калибровочных преобразованиях преобразуется
так:
5^v(x)->cd (x)^v (х)0"! (х). (2.8)
Если согласиться называть ф(х) вектором относительно калибровочных
преобразований, то Г(ЗгдУ(х)) является тензором второго ранга. Само же
5гдУ(^) иногда удобно считать вектором в присоединенном представлении.
