Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Славнов А.А. -> "Введение в квантовую теорию калибровочных полей " -> 4

Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.

Славнов А.А., Фадеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей — М.: Наука, 1978. — 238 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievkvantovuuteoriu1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 67 >> Следующая

зарядовом пространстве, которое само является пространством представления
некоторой компактной полупростой группы Q (SU(2),SU(3) и т.д.). В
уравнениях движения для полей ф(х) участвует ковариантная производная
V^ = ^-r(^), (1.11)
где Г(^ц) - представление матрицы соответствующее данному представлению
группы Q. Например, если Q = SU(2), и зарядовое пространство отвечает его
двумерному представлению, то упомянутые выше генераторы Та представляются
матрицами Паули
г (и=4г%а> о-12)
где
T' = (l 1)> т2==(? "о)> т3 = (о -?)' (1ЛЗ)
и в этом случае
Г(^) = -1-<та. (1.14)
Преобразование полей ф(х), аналогичное локальному фазовому преобразованию
в электродинамике, имеет вид
Ф (х) -* ф" (х) = Г [ш (х)] ф (х), (1.15)
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
13
где со (л:)- функция х со значениями в группе Q. Удобно считать со(х)
матрицей в присоединенном представлении группы Q. Производная (1.11)
будет ковариантна по отношению к этому преобразованию, если поле
преобразуется по закону
М* (х) (х) - (r) (х) -&IX (х) (r)_1 (х) + (.t) со-1 (л:). (1.16)
Нетрудно убедиться, что это преобразование удовлетворяет групповому
закону. Множество этих преобразований образует группу, которую можно
формально обозначить как
Й = Пй- (1-17)
X
Эта группа называется группой калибровочных преобразований.
Часто удобно иметь дело с инфинитезимальной формой калибровочного
преобразования. Пусть матрицы <в(х) бесконечно мало отличаются от
единичной:
о (х) = 1 + а (х) = 1 + аа (х) Та, (1.18)
где а(х) принадлежит алгебре Ли группы Q.
Тогда изменение при таком преобразовании
имеет вид
= <?йа - а] = V^a, (1.19)
или, в компонентах,
6< = д^аа - tabcAy. (1.20)
Соответствующее преобразование для ф имеет вид
6ф = Г(а)ф. (1.21)
Ясно, что группа градиентных преобразований электродинамики является
частным случаем калибровочной группы.
Существование ковариантных производных позволяет динамически реализовать
принцип относительности во внутреннем пространстве: полевые конфигурации
ф (х), (х) и Г [м (х)] ф (х), (х) описывают одну и ту же фи-
зическую ситуацию. Положив в основу построения динамики этот принцип, мы
автоматически придем к теории Янга - Миллса.
14
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Принцип относительности означает, что истинной физической конфигурации
соответствует не один набор полей, а целый класс калибровочно
эквивалентных конфигураций. Более наглядно он утверждает, что во
внутреннем зарядовом пространстве не существует выделенного
фиксированного базиса, относительно которого физические поля материи ф
представляются в виде набора ф =* (фь • • ¦, фт). Такой базис можно
вводить локально в каждой точке пространства-времени, однако нет
физической причины для фиксации его расположения. Локальное изменение
базиса интерпретируется как изменение калибровочного поля, играющего
роль, аналогичную гравитационному или электромагнитному полям.
Принцип относительности приводит к значительному формальному отличию в
описании динамики калибровочных полей по сравнению с более привычными
полями, такими, например, как самодействующее скалярное поле. Чтобы
практически работать с классами эквивалентных конфигураций, их надо как-
нибудь параметризовать, т. е. выбрать однозначных представителей в каждом
классе. Обычно этого достигают, наложив дополнительное условие,
уничтожающее калибровочный произвол. Это дополнительное условие называют
калибровочным условием, или просто калибровкой. Наиболее употребительными
калибровками являются условия:
cpt = = 0 (лоренцева калибровка),
' фс=(3&^& -0 (кулоновская калибровка),
фя = ^0 = 0 (гамильтонова калибровка),
фл=^3 = 0 (аксиальная калибровка).
Для общей системы, включающей как поля так и поля ф, последние могут
входить в калибровочное условие. Примеры таких условий мы приведем ниже в
§ 3.
В общем виде калибровочное условие Ф(Л,ф;л:) представляет собой семейство
функционалов от s4-^ и ф по одному для каждого х. При фиксированном х
Ф(Л, ф; х) представляет собой элемент алгебры Ли группы G, так что число
независимых калибровочных условий совпадает с размерностью калибровочной
группы. В примерах (1.22) все условия имеют именно такой вид.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
15
Кроме того, в этих примерах калибровочные условия локальны, т. е.
Ф(Л,ф;л:) зависит от значений и ф в окрестности точки х.
Обсудим требования, которым должны удовлетворять калибровочные условия.
Важнейшее из них состоит з том, что система уравнений
ф(Л", ф01; х) = 0 (1.23)
при фиксированных и ф имеет однозначное решение ш(х). Это требование
означает, что в каждом классе эквивалентных полей действительно
содержится единственный набор полей ф, удовлетворяющий условию
(1.23). Этот набор, взятый в качестве представителя класса, однозначно
характеризует истинную физическую конфигурацию. Менее принципиальное, но
практически важное требование состоит в том, что уравнение (1.23) не
должно быть слишком сложным и давать достаточно явное решение со(х), хотя
бы в рамках теории возмущений.
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed