Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
компактная группа, не имеющая инвариантных коммутативных (абелевых)
подгрупп. Число независимых параметров, характеризующих произвольный
элемент группы (размерность), равно п. Среди представлений этой группы и
ее алгебры Ли существует представление матрицами п X п (присоединенное
представление). Оно порождается естественным действием группы на саму
себя преобразованиями подобия
/г-*со/гсо-1; h, шей. (1.1)
Любая матрица ?Г в присоединенном представлении алгебры Ли может быть
представлена в виде линейной комбинации п генераторов
3~ - Тааа. (1.2)
Для нас важно, что генераторы Та можно нормировать условием
tr (ТаТь) = - 2ЬаЬ. (1.3)
В этом случае структурные константы iabc, участвующие
*) Часть обозначений помещена в конце книги.
10
ГЛ. I, ВВЕДЕНИЕ
в условии
(1.4)
полностью антисимметричны. Читатель, незнакомый с теорией групп Ли, может
запомнить лишь эти два соотношения, которые на самом деле являются
характеристическим свойством компактной полупростой группы Ли.
Компактная полупростая группа называется простой, если она не имеет
инвариантных подгрупп Ли. Полупростая группа общего вида является
произведением простых групп. Это значит, что матрицы алгебры Ли в
присоединенном представлении имеют блочно-диагональную форму, где каждый
блок отвечает одному из простых сомножителей. Генераторы группы можно
выбрать таким образом, что каждый из них имеет отличные от нуля матричные
элементы только внутри одного из блоков. Мы всегда будем иметь в виду
именно такой выбор генераторов, согласованный со структурой прямого
произведения.
Простейшим примером такой группы является простая группа SU(2).
Размерность этой группы 3, алгебра Ли в присоединенном представлении
задается антисимметричными матрицами 3X3; в качестве генераторов можно
выбрать матрицы
р = ; Г2 = ; Т3 =
структурные константы tabc в этом базисе совпадают с полностью
антисимметричным тензором гаЬс.
Помимо полупростых компактных групп, мы будем рассматривать также
коммутативную (абелеву) группу f/(I). Элементами этой группы являются
комплексные числа, по модулю равные единице. Алгебра Ли этой группы
одномерна и образована мнимыми числами, или вещественными
антисимметричными матрицами 2X2.
Поле Янга - Миллса можно ассоциировать с любой компактной полупростой
группой Ли. Оно задается векторным полем Мц(х), принимающим значения в
алгебре Ли этой группы. Удобно считать ^ц(х) матрицей в присоединенном
представлении этой алгебры. В этом случае
(1-5)
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
11
оно определяется своими коэффициентами Ац(х)
^ц(х) = Л?(х)Га (1.6)
по отношению к базису генераторов Та.
Аналогичным объектом в случае группы ?/(1) являет* ся электромагнитное
поле s^ll(x)= ь4ц(х).
Перейдем к определению калибровочной группы и ее действия на поля Янга -
Миллса. В случае электродинамики калибровочное преобразование - это
хорошо знакомое градиентное преобразование
^ (х) -> st" (х) + г'дцЛ (х). (1.7)
Напомним его происхождение в рамках классической теории поля.
Электромагнитное поле взаимодействует с заряженными полями, которые
описываются функциями ф(х), принимающими комплексные значения. В
уравнения движения поле .я?ц(х) всегда входит в комбинации
= (5ц - ^ц) Ф = (5ц - Мц) ф. (1.8)
Указанное выше градиентное преобразование обеспечивает ковариантность
этой комбинации по отношению к фазовому преобразованию полей ф. Если ф
преобразуется по закону
ф (х) -> еа (х)ф (х),
Ъ(х)-+е-*М$(х), (1,9)
то также преобразуется и Уцф. Действительно,
(5ц - ^ц) ф -> [5ц - idцА (х) - .^ц (х)] еа <*>ф (х) =
= еа (х) [5ц - ^ц (х)] ф (х). (1.10)
В результате уравнения движения также коварианг-ны по отношению к
преобразованиям (1.7), (1.9); если пара ф(х), ^ц(х) является решением, то
и еа<л:)ф(х), ^ц(х) + idцХ(х) тоже решение.
Другими словами, локальное изменение фазы поля ф(х), которую можно
считать координатной в зарядовом пространстве, эквивалентно появлению
дополнительного электромагнитного поля. Мы усматриваем здесь полную
аналогию со слабым принципом эквивалентности теории тяготения Эйнштейна,
где изменение системы отсчета
13
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
приводит к появлению дополнительного гравитационного поля.
Развивая далее эту аналогию, можно сформулировать принцип относительности
в зарядовом пространстве, впервые введенный Германом Вейлем в 1929 году:
полевые конфигурации ф(х), ^Ф^{х) и ф(х)еа(Л), зФц,{х)-{-Jrid[xX(x)
описывают одну и ту же физическую ситуацию. Если положить этот принцип в
основу построения теории, то описанная выше конструкция уравнений
движения с помощью ковариантных производных является единственно
возможной.
Обобщение этого принципа на случай более сложного зарядового пространства
приводит к теории Янга - Миллса. Примерами таких зарядовых, или, как их
иногда называют, внутренних пространств, являются изотопическое
пространство, пространство унитарного спина в теории адронов и т. д. Во
всех этих примерах мы имеем дело с полями ф(х), принимающими значения в
