Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Д=1г* (55-6)
Этот результат уже был найден в § 51 непосредственно интегрированием магнитных полей элементов тока.
Рассмотрим теперь бесконечно длинный прямой цилиндрический провод радиуса а, по которому течет ток с постоянной плотностью. Нетрудно видеть, что наружное поле будет определяться прежней формулой (55.6). Остается найти поле внутри провода. Конечно, и там магнитные силовые линии будут коаксиальными окружностями. Одна из них изображена на рис. 149 пунктиром.
4я
с
\ (JdS).
(55.5)
236
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. III
Циркуляция вектора В по этой линии равна, с одной стороны, 2лRB. С другой стороны, по теореме о циркуляции та же величина равна 4л:У'/с, где <&' — е?7?2/а2— ток, пронизывающий рассматриваемый контур. Сравнивая эти выражения, находим
B = ~R
са2
(R < а).
(55.7)
Если провод полый, а поверхностная плотность тока постоянна, то вне цилиндра по-прежнему верна формула (55.6). Поле внутри цилиндра в этом случае равно нулю.
Пример 2. Магнитное поле бесконечно длинного соленоида. Пусть поверхностная плотность тока і, циркулирующего по поверхности соленоида, одна и та же по всей длине соленоида. Покажем, что магнитное поле, если оно отлично от нуля, должно быть направлено параллельно оси соленоида. Возьмем
В О
I
1 1
А Л
Рис. 150.
два элемента тока 3 dli и 3 dl2, симметрично расположенных относительно точки наблюдения А, как это изображено ка рис. 150, а. По закону Био и Савара результирующее магнитное поле этих двух элементов в точке А дается выражением
dB=%r [ад+-gf \-dhrA = If[dtl {Ґ1+Гя)]-
Так как векторы dlx и (г, + г2) перпендикулярны к оси соленоида, то поле dB параллельно этой оси. Всю поверхность бесконечного соленоида можно разбить на пары элементов, аналогичных dlx и
ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ В ВАКУУМЕ
237
d!,,. Магнитное поле каждой такой пары параллельно оси соленоида. Следовательно, то же справедливо и для полного поля соленоида. Доказательство справедливо независимо от того, где лежит точка наблюдения А — внутри или вне соленоида.
Исследуем, как ведет себя магнитное поле бесконечного соленоида при удалении точки наблюдения А в бесконечность. Как будет доказано в § 57, магнитное поле отдельного витка на больших расстояниях убывает обратно пропорционально кубу расстояния. Рассмотрим конечный участок соленоида, который виден из точки А под углом а (рис. 150, а). Разобьем его на большое число N кольцевых токов. Будем удалять точку А в бесконечность, сохраняя угол а и число N неизменными. При этом сила каждого кольцевого тока будет возрастать пропорционально длине выделенной части соленоида, а значит, и расстоянию до точки наблюдения. Если бы сила тока не изменялась, то из-за увеличения расстояния происходило бы убывание поля — обратно пропорционально кубу расстояния, как указано выше. Из-за увеличения силы тока убывание будет более медленным — обратно пропорционально квадрату расстояния. Но и в этом случае магнитное поле выделенной части соленоида, как и поле всего бесконечного соленоида, на бесконечности обратится в нуль.
Применим теперь теорему о циркуляции к прямоугольному контуру ABCD, сторона АВ которого проходит внутри соленоида, а сторона CD бесконечно удалена (рис. 150, б). Участки ВС и AD не вносят никакого вклада в циркуляцию, так как магнитное поле к ним перпендикулярно. По доказанному выше не дает вклада и сторона CD. Вся циркуляция сводится к интегралу по стороне АВ и представляется выражением В1, где I — длина стороны АВ. По теореме о циркуляции та же величина равна 4лd?/c — Anil 1с. Сравнением обоих выражений находим
В=А\ (55.8)
Этот результат справедлив не только для круглого соленоида, но и для соленоида с произвольным поперечным сечением. Внутри бесконечного соленоида магнитное поле однородно, а снаружи — равно нулю.
Формула (55.8) с хорошей точностью применима к средней части соленоида конечной длины вдали от его краев. Вблизи краев магнитное поле сильно искажается и становится неоднородным.
Для катушки с проволочной обмоткой
4л Ne7 ,rr о-t
В = — —j—, (55.9)
где N —число витков, I — длина катушки, а — сила тока в ее обмотке. Эта формула лишь приближенно представляет магнитное поле реального соленоида. Помимо искажения поля вблизи концов
238
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. III
соленоида, однородность его нарушается в непосредственной близости каждого витка. Реальный ток лишь приближенно аппроксимируется поверхностным током с постоянной линейной ПЛОТНОСТЬЮ. Вблизи каждого витка магнитные силовые линии обвиваются вокруг него. Кроме того, из-за наклона витков к оси соленоида имеется слагающая тока, параллельная этой оси. Она также искажает поле.
Пример 3. Магнитное поле тороидальной к а т у ш к и. Заменим реальную катушку идеальным тором, по
поверхности которого циркулирует ток с постоянной линейной плотностью і (рис. 151). Линии тока лежат в меридианальных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось А А системы. При повороте тора вокруг
оси А А на любой угол он совмещается сам с собою. То же произойдет с магнитными силовыми линиями, если их повернуть, оставляя тор неподвижным. Отсюда следует, что силовыми линиями будут окружности с центрами на
