Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕЛЕСНЫХ УГЛАХ
233
правлением обхода. Поэтому следует говорить о телесном угле, под которым виден сам контур L, а не поверхность, натянутая на него. Именно в таком смысле мы будем понимать телесный угол, когда в следующем параграфе свяжем эту величину с напряженностью магнитного поля.
4. Рассмотрим теперь дифференцирование телесных углов. Пусть контур, на который опирается телесный угол Q, неподвижно закреплен. Тогда величина телесного угла Q будет зависеть только от положения его вершины. Найдем производные величины й по координатам х, у, г этой вершины. При смещении вершины на dr (рис. 148, а) телесный угол получает приращение dQ = й2 — Такое же приращение он получил бы, если бы закрепить неподвижно вершину, а контур, как целое, сместить в противоположном направлении на —dr (рис. 148, б}-
а) б)
Рис. 148.
При таком смещении точки контура опишут цилиндрическую поверхность S, которая видна из вершины А под телесным углом Й6оК. Как видно из рисунка, Qj = Q2 + QgoK, т. е. dQ = fi2— fij =—Йбок- Телесный угол йбоК определяется выражением
0...— $^.
где dS — элемент площади бокозой поверхности, причем радиус-вектор г проведен от площадки dS к вершине телесного угла, а единичная нормаль п к цилиндрической поверхности направлена наружу, как указано на рисунке. Если dl — элемент длины контура, то при таком выборе единичной нормали dS — = [dr dl}. Подставляя это выражение в предыдущее и вынося dr из-под знака интеграла, получим
о*.-- --«л-,
где введено обозначение
[dir]
Интегрирование здесь ведется по контуру, на который опирается телесный угол. Таким образом, dii = a dr = axdx + aydy + azdz. Отсюда находим
да _ <?Q _ dQ _
~дх~а*' ду ~йу’ dz
или в векторной форме
gradQ^I^. (54.п
234
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
1ҐЛ. III
§ 55. Теорема о циркуляции магнитного поля в вакууме
1. Линейный интеграл § В ds, называемый магнитным напря-
12
жением между точками 1 и 2, зависит не только от положения этих точек, но и от пути интегрирования. Его значение становится определенным только после указания этого пути. Предположим сначала, что магнитное поле В создается постоянным током е?, текущим по бесконечно тонкому замкнутому витку. Напряженность такого поля определяется выражением (50.11), или в силу формулы (54.1)
В = — grad фт, (55.1)
где
Фот = --^?2, (55.2)
a Q — телесный угол, под которым виток с током виден из точки наблюдения. Величина срт называется магнитным потенциалом.
Магнитный потенциал, как и телесный угол О, является много-
значной (бесконечнозначной) функцией точки наблюдения. Магнитное напряжение выражается через магнитный потенциал соотношением
^ В ds — ^ d(pm = (p)rIi фт:. (55.3)
12 12
2. Допустим, что точки 1 и 2 совпадают, т. е. путь интегрирования становится замкнутым. Тогда магнитное напряжение переходит в циркуляцию ф В ds вдоль этого замкнутого пути. Из свойств телесных углов, установленных в предыдущем параграфе, следует, что циркуляция <§Bds будет равна нулю, если путь интегрирования не обходит вокруг тока. Если же он обходит вокруг тока один раз, то
§>Bds = А(55.4)
Ток считается положительным, если его направление находится в правовинтовом соотношении с направлением пути обхода.
Допустим теперь, что магнитное поле создается несколькими замкнутыми бесконечно тонкими витками с постоянными токами. К таким виткам с токами сводится и общий случай, так как постоянные токи всегда замкнуты и пространство, обтекаемое ими, можно разбить на бесконечно тонкие замкнутые токовые линии, которые и будут играть роль бесконечно тонких витков. Магнитные поля отдельных витков удовлетворяют принципу суперпозиции, а циркуляции этих полей по одному и тому же замкнутому контуру
ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ В ВАКУУМЕ
235
складываются алгебраически. Поэтому и в общем случае получается формула (55.4). Только в ней под <?? следует понимать сумму токов всех проводников, вокруг которых обходит контур циркуляции. В результате доказано следующее положение: циркуляция магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру равна сумме токов, пронизывающих контур циркуляции, умноженной на 4л/с. Это положение называется теоремой о циркуляции вектора напряженности магнитного поля.
Если объемная плотность тока J конечна, то = jj /„ dS =
s
¦= § (jdS), где 5 — любая поверхность, натянутая на контур,
s
по которому вычисляется циркуляция. В этом случае формула (55.4) перейдет в
^ (В ds) =
В тех областях пространства, где не текут электрические токи, циркуляция ф В ds обращается в нуль по любому замкнутому контуру, т. е. в таких областях магнитное поле потенциально. Однако, как видно из формулы (55.5), этого не будет там, где текут электрические токи. Там магнитное поле не потенциально.
3. В учении о магнитном поле постоянных токов теорема о циркуляции играет примерно ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике. При наличии определенной симметрии теорема о циркуляции позволяет иногда очень просто рассчитать напряженность магнитного поля. Приведем несколько примеров.
Пример 1. Магнитное поле бесконечного прямолинейного провода с током. Ввиду симметрии магнитные силовые линии имеют форму окружностей с центрами на оси тока (рис. 138). Длина вектора В одна и та же во всех точках силовой линии. Циркуляция магнитного поля вдоль силовой линии, с одной стороны, равна 2лRB. С другой стороны, по теореме о циркуляции та же величина равна 4л<?7/с. Приравнивая оба выражения, получим
