Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
S произвольное число раз, поскольку это число всегда четное. Но все пространство можно разбить на бесконечно тонкие кольцевые магнитные трубки, и каждая из них не будет вносить никакого вклада в магнитный поток через замкнутую поверхность S. Суммарный магнитный поток через такую поверхность будет равен нулю. Теорема доказана.
Итак,
§ 541
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕЛЕСНЫХ УГЛАХ
231
или в дифференциальной форме
div 5 = 0. (53.2)
В учении об электрическом поле соответствующие уравнения имели вид
(Е dS) = div? = 4np.
Можно было бы предполагать, как это делалось на ранней стадии учения о магнетизме, что источниками магнитного поля являются магнитные заряды, взаимодействующие по закону Кулона. Однако такое предположение не согласуется с формулой (53.1). Она показывает, что магнитных зарядов не существует. Понятно, что справедливость столь фундаментального результата не может ограничиваться рамками учения о постоянных магнитных полях. Поэтому естественно ожидать, что уравнение (53.1) или эквивалентное ему уравнение (53.2) справедливы также для любых магнитных полей. Все опытные факты подтверждают это заключение. Уравнения
(53.1) и (53.2) входят как составные части в систему уравнений Максвелла.
Силовые поля, дивергенция которых всюду обращается в нуль, называются бездивергентными или соленоидальными полями. Следовательно, магнитное поле есть поле соленоидальное. Его источниками являются не магнитные заряды, а электрические токи.
§ 54. Дополнительные сведения о телесных углах
1. О телесных углах говорилось в § 5. Для дальнейшего понятие телесного угла необходимо обобщить. Возьмем произвольный замкнутый контур L и натянем на него произвольную замкнутую поверхность S (рис. 146, а). На контуре L
Рис. 146.
установим положительное направление обхода, а на поверхности S — положительное направление нормали п. Эти направления должны быть согласованы
232
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. III
между собой так, чтобы они находились в правовинтовом соотношении. Для упрощения рассуждений будем пользоваться плоскими, а не пространственными рисунками. Сечение замкнутого контура L плоскостью рисунка изобразим двумя кружками. Кружок с точкой внутри него означает, что контур пересекает плоскость рисунка в направлении к читателю, а кружок с крестиком — в направлении от читателя. Как и раньше, сторону поверхности S, в которую нормаль п входит, условимся называть внутренней, а сторону, из которой она выходит, — внешней. Телесный угол Й мы считали положительным, когда из его вершины видна внутренняя сторона поверхности S, и отрицательным, когда видна внешняя. Временно сохраним это соглашение и здесь.
2. При перемещении вершины телесного угла его величина ?2 меняется,
вообще говоря, непрерывно. Исключение составляет случай, когда вершина А пересекает поверхность S. Тогда телесный угол получает скачкообразное приращение, равное +4л, если точка Aj переходит с внешней стороны на внутреннюю, и ¦—4л, если переход совершается в противоположном направлении.
Для пояснения рассмотрим сначала частный слу-
чай, когда контур L и поверхность S плоские. Если вершина А находится бесконечно близко от плоскости S с внешней стороны, то эта плоскость видна из вершины под углом —2л. Если же
вершина переходит па внутреннюю сторону, то телесный угол становится разным -(-2л, т. е. получает приращение 4л. Допустим теперь, что поверхность АСВ, натянутая на контур L, произвольная (рис. 147). Пусть 1 и 2— две бесконечно близкие точки, лежащие по разные стороны от поверхности АСВ. Натянем на тот же контур L бесконечно близкую поверхность АС'В так, чтобы обе точки 1 и 2 оказались по одну сторону от нее. Телесные углы Й[ и Йо, под которыми видна из точек 1 и 2 эта поверхность, будут отличаться друг от друга бесконечно мало, причем Й{ = Возьмем теперь замкнутую поверхность АСВС'А. Так как на АСВ нормаль п проведена наружу, а на АС'В — внутрь указанной замкнутой поверхности, то из точки 2 поверхность АСВС'А будет видна под углом Й2 — Й^. А так как эта поверхность замкнутая, то тот же угол равен 4я, т. е. Й2 — Й^ = 4л. Но, очевидно, с точностью до бесконечно малых Qj = = ЙІР а потому
Яг — Й! == 4л, что и требовалось доказать.
3. Разрывное поведение телесного угла Й делает эту величину неудобной при рассмотрении замкнутых контуров, обтекаемых токами. Действительно, точка разрыва величины Й зависит от того, где проведена вспомогательная поверхность S, натянутая на контур L. Магнитное же поле тока, текущего по указанному контуру, ни от каких вспомогательных поверхностей не зависит. Однако небольшим обобщением понятия телесного угла нетрудно освободить это понятие от указанного неудобства. Для этого телесный угол надо определить как многозначную (точнее, бесконечнозначную) функцию положения его вершины. Если вершина занимает какое-то произвольное (начальное) положение, то телесный угол можно определить так, как это делалось выше. Когда вершина А описывает произвольный замкнутый путь (рис. 146, б), возвращаясь-в исходное положение, не пересекая при этом (или пересекая в противоположных направлениях четное число раз) никакой поверхности, натянутой яа контур L, то телесный угол й возвращается к своему исходному значению. Если же замкнутый путь s2 обходит вокруг контура L, то телесный угол получает приращение 4л; при обходе в отрицательном направлении приращение телесного угла будет —4л. Так понимаемый телесный угол й определен с точностью до слагаемого вида 4лп, где п — целое число (положительное или отрицательное). При непрерывном перемещении вершины А телесный угол меняется непрерывно. Величина его не зависит ни от какой поверхности, натянутой на контур L. Она определяется только самим контуром L и установленным на нем положительным на-
