Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
228
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. III
вообразить, что по этим прямым в противоположных направлениях пропущены равные токи силою (рис. 144). Добавление таких токов ничего не меняет, так как полный ток, текущий по каждой вспомогательной прямой, равен нулю. Однако теперь полный момент Ж может быть представлен в виде суммы моментов,
F
действующих на элементарные прямоугольники и треугольники. Поскольку эти моменты равны нулю, будет равен нулю и полный момент М.
Рассмотрим, наконец, случай, когда магнитное поле направлено под углом к плоскости контура. Представим вектор В в виде В —
— B<-\-BL, где В | — составляющая вектора В, параллельная,
a BL — перпендикулярная к плоскости контура. Вторая составляющая не вносит вклада в момент /И. Поэтому м = 1Шц1 = [Ш1. Таким образом, и в этом случае справедлива формула (52.1).
Формула (52.1) верна и в том случае, когда контур тока не плоский, однако магнитное поле однородно. Чтобы убедиться в этом, натянем на контур с током произвольную поверх-Рис. 144. ность S и разобьем ее вспомогатель-
ными линиями на элементарные площадки dS подобно тому, как это сделано на рис. 144. Пропустив по этим вспомогательным линиям равные и противоположно направленные токи силою <?7, представим момент М. в виде суммы моментов, действующих на такие элементарные площадки. Но каждая площадка, ввиду ее бесконечной малости, может рассматриваться как плоская и к ней применима формула (52.1). Сложив моменты, действующие на элементарные площадки, снова получим формулу (52.1), причем магнитный момент тока SШ будет определяться прежним выражением (52.2), в котором под вектором 5 следует понимать
ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
229
векторный интеграл взятый по поверхности S, натя-
нутой на контур тока. Вектор S не зависит от выбора вспомогательной поверхности S, а только от контура, на который она натянута.
Формула (52.1) справедлива и для соленоида, поскольку последний можно рассматривать как систему кольцевых токов. Магнитный момент соленоида, очевидно, определяется прежней формулой
(52.2), если под <э7 понимать полный ток, текущий по боковой поверхности соленоида, а под S — площадь его поперечного сечения. Для проволочной спирали с малым шагом, состоящей из N витков, Ж = N&Slc.
3. Под действием вращающего момента М виток или катушка будут поворачиваться так, чтобы векторы Ж и В стали параллельными и одинаково направленными. Это — положение устойчивого равновесия. В положении, когда 331 и В параллельны и направлены противоположно, также имеет место равновесие, но такое равновесие неустойчивое.
Формула (52.1) приближенно применима и для неоднородных магнитных полей. Необходимо только, чтобы размеры витка или катушки были малы. Тогда влиянием неоднородности поля на вращающий момент можно пренебречь. Такие витки и катушки могут быть использованы для практических измерений магнитных полей. Тогда они называются пробными. Пробные витки и катушки играют в магнитных измерениях ту же роль, что и пробные заряды в электрических измерениях. Если пробную катушку поместить в магнитное поле, то ее магнитный момент ЭЛ установится вдоль поля В. Повернем катушку из этого положения на 90°, чтобы вращающий момент М обратился в максимум. Тогда магнитный момент ЭЛ будет перпендикулярен к вектору В, т. е. (WtB) — 0. Поэтому, умножая равенство (52.1) векторно на ЭЛ, получим
B-VgL. (52.3)
Измерив вращающий момент М, можно по этой формуле найти напряженность магнитного поля как по величине, так и по направлению. В частности, такие измерения позволяют проверить закон Био и Савара в интегральной форме (50.11).
§ 53. Теорема Гаусса для магнитных полей
Изучение электрического поля мы начали с установления элементарного закона, определяющего напряженность электрического поля неподвижного точечного заряда. Из этого закона были выведены две интегральные теоремы, о потоке вектора Е через замкнутую поверхность и о циркуляции того же вектора по замкнутому
230
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. III
Рис. 145.
контуру. Затем эти теоремы мы преобразовали в дифференциальную форму и тем самым показали, что они согласуются с основными представлениями теории поля. Так же поступим и при изучении магнитного поля. Элементарный закон (50.2) определяет магнитное поле равномерно движущегося точечного заряда. Предполагая, что магнитное поле возбуждается только такими зарядами, найдем поток вектора В (называемый для краткости магнитным потоком) через замкнутую поверхность, а также циркуляцию того же вектора по замкнутому контуру.
Начнем с вычисления магнитного потока. Для магнитных полей движущихся зарядов справедлив принцип суперпозиции. Кроме того, поток геометрической суммы нескольких векторов через любую поверхность равен алгебраической сумме потоков этих векторов через ту же поверхность. Поэтому при вычислении магнитного потока достаточно ограничиться частным случаем, когда поле В создается отдельным точечным зарядом, равномерно движущимся со скоростью v.
Докажем, что магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю (рис. 145). Для простоты будем предполагать, что заряд равномерно движется перпендикулярно к плоскости рисунка. Магнитными силовыми линиями будут коаксиальные окружности, плоскости которых параллельны плоскости рисунка, а центры расположены на прямой, вдоль которой движется заряд. Возьмем бесконечно тонкую кольцевую трубку ABCD, образованную магнитными силовыми линиями. Ввиду осевой симметрии магнитный поток через поперечное сечение трубки будет оставаться постоянным на всем ее протяжении. Трубка пересечет замкнутую поверхность S четное число раз, например два. Магнитные потоки через площадки dSx и dS2, которые трубка вырезает из поверхности S, одинаковы по величине, но противоположны по знаку. Сумма потоков через такие площадки равна нулю. То же справедливо и в том случае, когда трубка пересекает поверхность
