Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
= е76. Сравнивая эти две системы уравнений, получаем
є72 + є74=є^2+є^4>
і Ri <?? 2R2={Ri “f- zRzf $ 3^3 + 4^4 = Є^з^З + Є^4^4-
Переписав эту систему уравнений в виде Ri (e7i—e7[) = R2 (e7J —е72), я3 (е7з—е71) = іїі
е71 — о7[ — е7'г — <#3, е^г — q7'z = q7\— 4>
почленным делением первых двух уравнений находим искомое условие:
R1/R3 = R'l:Ri'
6. В предыдущей схеме (см. рис. 123) гальванометр из диагонали перенесен в боковую сторону 1, а ключ К — в противоположную боковую сторону 4. При каком условии замыкание и размыкание ключа не будет влиять на показания гальванометра?
Ответ. R2/Re = Rb/R3.
Для получения ответа не требуется новых вычислений, если заметить, что обе схемы топологически эквивалентны, т. е. одна может быть получена из другой непрерывной деформацией. В этом проще всего убедиться, если перейти к пространственной схеме мостика Уитстона, в которой провода изображаются ребрами правильного тетраэдра (рис. 124).
§ 46. Стационарные токи в массивных проводниках
1. Пусть в проводящей однородной среде помещены два электрода А и В (рис. 125), электропроводность которых очень велика по сравнению с электропроводностью самой среды. В этих условиях
204
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[ГЛ. И
изменениями потенциала внутри электродов можно пренебречь, т. е. считать, что все точки каждого электрода находятся при одном и том же потенциале. Будем поддерживать потенциалы электродов фх и ф2 постоянными. Поставим задачу о нахождении плотности тока, текущего между электродами. Эта задача математически эквивалентна электростатической задаче о поле конденсатора, обкладками которого служат рассматриваемые электроды. Действительно, поскольку токи стационарны, а среда однородна, в ней пе могут появиться объемные электрические заряды. Значит, потенциал ср во всем- пространстве между электродами должен удовлетворять уравнению Лапласа Аф = 0 и принимать заданные значения cpt и ф2 на электродах А и В. Задача об электрическом поле в конденсаторе формулируется в точности так же. Обе задачи математически тождественны и имеют единственные решения. Поэтому,
п
если пространство между электродами А и В заполнить однородным диэлектриком и поддерживать электроды при прежних потенциалах фх и ф2, ТО электрическое поле EO всем пространстве вне электродов А и В останется неизменным. Найдя напряженность электрического поля Е, можно вычислить затем и плотность тока по формуле j = кЕ.
Вычисление полного тока между электродами — задача еще более простая. Она сводится к вычислению емкости соответствующего конденсатора. Действительно, ток выражается интегралом
s7 = ф jndS = Л ф EndS,
распространенным по поверхности положительно заряженного электрода А. Если задаче о токе сопоставить соответствующую электростатическую задачу, то по теореме Гаусса
Еп dS = ~ q = ~ С (ф! - фа),
где є — диэлектрическая проницаемость межэлектродного пространства, а С — емкость конденсатора с обкладками А и В. Таким образом,
„ 4лСХ . ч
= —— (Фх-Фз)-
СТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ В МАССИВНЫХ ПРОВОДНИКАХ
205
С другой стороны, по закону Ома
<?7 — Фі—Ф2 R
где R — полное электрическое сопротивление проводящей среды между электродами А и В. Сравнивая обе формулы, получаем
после чего находим ток е7. Как и следовало ожидать, сопротивление R не зависит от є, так как емкость конденсатора С сама пропорциональна є. Не меняя результата, можно было бы взять^є = 1.
Приведем конкретные примеры.
1) Электродами служат концентрические сферы с радиусами а и Ь. Используя формулу (26.5), получим
2) Электродами являются поверхности коаксиальных цилиндров с высотой / и радиусами а и Ь. Формулы (46.1) и (26.7) дают
3) Электродами являются два шарика радиуса а, удаленные друг от друга на большое расстояние. В этом случае
Сопротивление R не зависит от расстояния между шариками. Это объясняет результат, эмпирически найденный телеграфистами, обнаружившими, к своему удивлению, что сопротивление земли между телеграфными станциями не зависит от расстояния между ними.
2. Рассмотрим задачу о сопротивлении заземления в более общей постановке. На рис. 126 схематически изображены две станции 1 и 2. Связь между ними осуществляется проводом 12. Другим проводом служит земля. Вблизи каждого из заземленных металлических тел (электродов) А и В почва может считаться однородной средой с удельными проводимостями и ).2. Будем предполагать, что электроды А и В зарыты глубоко, так что влиянием границы между землей и атмосферой на общий ток, текущий между электродами, можно пренебречь. Пусть Cj и С2 — емкости электродов А и В, какими они были бы, если бы электроды были уединены и находились в вакууме. Ток е7, стекающий с положительного электрода А, зависит только от его потенциала срг и электропроводности почвы в окрестности этого электрода. Он практически не зависит
R
(46.2)
206
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[ГЛ. II
от свойств удаленных областей окружающей среды, а потому при вычислении е7г электропроводность всей среды можно считать постоянной и равной Кг. Если потенциал бесконечно удаленных точек
условиться считать равным нулю, то на основании формулы (46.1)
