Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
7. Применим теперь формулу (35.13) для расчета поляризации диэлектрика Р — tip — п$Е'. Получаем
Е’^Е + Ц-Р.
(35.13)
откуда
Далее,
Следовательно,
1 +8/3ялР l-4/з ЛПР-
(35.14)
Разрешая это уравнение относительно 4/3 пп$, получим
е—1 4л а
^+2 = Т"Р-
(35.15)
148
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
ЇГЛ. 1
Так как величина яр пропорциональна плотности диэлектрика г, то при изменении плотности должно соблюдаться соотношение
i-gi-const. (35.16)
Это соотношение называется формулой Мосотти — Клаузиуса. Приведенный вывод ее принадлежит Г. А. Лорентцу. Для диэлектриков, подчиняющихся формуле Мосотти — Клаузиуса, диэлектрическая проницаемость е зависит только от плотности, но не зависит от температуры. Следовательно, для таких диэлектриков свободная энергия (точнее, ее электрическая часть) совпадает с внутренней. При малых є, близких к единице, формула (35,16) переходит в
(35.11).
Формула Мосотти — Клаузиуса находится в удовлетворительном согласии с опытом для жидких и газообразных диэлектриков с неполярными молекулами, хотя в случае жидкостей и не выполняется условие точечности молекул, использованное при выводе соотношения (35.16). Так, для газообразного сероуглерода CS2 при температуре О СС и нормальном атмосферном давлении измерен^ ное значение е равно 1,0029. Пользуясь им, по формуле (35.10) находим 4я«р = 0,0029. Плотность жидкого сероуглерода в 381 раз больше плотности газообразного. Если верно предположение, что поляризуемость молекулы р не меняется при переходе из газообразного состояния в жидкое, то для жидкого сероуглерода величина 4яяР должна быть больше также в 381 раз, т. е. должна составлять 1,11. Этому значению по формуле (35.14) соответствует е = = 2,76, что достаточно хорошо согласуется с экспериментально найденной величиной є = 2,64.
Для диэлектриков с полярными молекулами (вода, спирты, эфиры и пр.) формула Мосотти — Клаузиуса не подтверждается опытом. Например, если бы для воды провести такие же вычисления, какие выше были проведены для сероуглерода, то получилось бы 4яяр = = 13,2. Подставив это значение в формулу (35.14), мы пришли бы к отрицательному значению е. Между тем для воды опыт дает е — 81.
§ 36. Электронная теория поляризации полярных газообразных диэлектриков
1. При изложении теории поляризуемости диэлектриков, состоящих из полярных молекул, мы ограничимся случаем газов. Тогда действующее поле Е' можно отождествить со средним максвелловским полем Е. Для типичных полярных молекул (Н20, НС1, НВг, HI, СО, спирты, эфиры и пр.) дипольные моменты р0 порядка 10'18 СГСЭ-ед. По сравнению с ними индуцированные дипольные моменты на несколько порядков меньше. Действительно, пользуясь оценочной формулой (35.2), получаем Р ^ 10~24 см3. В довольно
§ 331
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ПОЛЯРНЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ
149
сильном электрическом поле Е 100 СГСЭ-ед. (30 ООО В/см) молекула приобретает дипольный момент всего ~ 10~22 СГСЭ-ед. Поэтому индуцированным моментом по сравнению с р0 можно в первом приближении полностью пренебречь. В этом приближении поляризация диэлектрика обусловлена только поворотами осей диполь-ных молекул в электрическом поле. Введем функцию распределения ПЬ) для описания распределения осей диполей по направлениям в пространстве. По определению величина dn = nf (b) dQ дает среднее число диполей в единице объема, оси которых лежат в пределах телесного угла d?2. Единичный вектор b указывает направление оси элементарного телесного угла dQ. В отсутствие электрического поля все направления дипольных осей равновероятны,
т. е. функция / (b) постоянна. При наличии электрического поля
функция / ф) определяется формулой Больцмана
/ = Се-“/<47'), (36.1)
где С — постоянная, а « = — (РъЩ — потенциальная энергия диполя р0 во внешнем поле Е. Поля обычно бывают «слабыми», т. е. удовлетворяют условию
Ж<1' (36-2>
В этих случаях функцию (36.1) можно разложить в степенной ряд и оборвать разложение на первых двух членах. Предполагая, что поле Е направлено параллельно оси Z, получим
f(ft) = c(l+^) = c(l + ^).
Постоянная С определяется условием нормировки
\f(b)dQ = 1, (36.3)
в котором предполагается, что интегрирование производится по всем направлениям в пространстве. В разбираемом нами случае это условие принимает вид
С § dQ + C^ JkdQ = l.
Первый интеграл равен 4п, а второй обращается в нуль, поскольку проекция Ьг одинаково часто принимает положительные и равные им по модулю отрицательные значения. Следовательно, С = 1/(4л), а потому
ИЧ-ЙІ'+ЇГ6-)' (36'4)
150
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
ІГЛ. I
2. Вектор поляризации среды, очевидно, будет направлен
вдоль Е, т. е. параллельно оси Z. Его величина равна
р = п $ Ро4 ф) dQ = про $ bj ф) dQ = ^ $ МЯ $ Ь1 da.
Первый интеграл в правой части, как мы видели, равен нулю. Для вычисления последнего интеграла используем соотношение Ь'х + К + bl — 1, интегрирование которого дает
Все три интеграла здесь равны между собой ввиду симметрии, а потому для каждого из них получаем 4я/3. Таким образом,
р ПР% р г ~~ rdkT Г‘г (36.5)
npl a~3kf' (35.6)
І, 4ЛП/У* 1 1 3 kT (36.7)
Отметим, что полученные результаты полностью, включая и численный множитель 1/3, остаются справедливыми и в квантовой механике (пока справедлива статистика Больцмана). В этом существенное отличие формул (36.5) — (36.7) от соответствующих формул теории парамагнетизма (см. § 77).
