Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
—J- со —J- со
¦ ("Vr—" [ ^?**+? $ ^('а+'и)4-
— со — со
Интегрируя по частям и имея в виду, что на пределах интеграла все величины обращаются в нуль, найдем
4- со -f- СО -j-CO
§ V^§rdx = — ^ § q?Exdx.
— со — со — со
Таким же путем преобразуется и второй интеграл. В результате получится
-f- со
<«>„гSS J + g?¦)],*..
— со
Если /9Л — объемная плотность электрических пондеромоторных сил, действующих в диэлектрике, то работа их при рассматриваемом виртуальном смещении будет
бAd]l = dS $ jfqdx.
— 00
Подставив эти выражения в формулу (32.2) и имея в виду, что функция q = q (х) может быть выбрана какой угодно, найдем f3/. К этой силе надо еще добавить силу гидростатического давления —дгР/дх. В результате для я-составляющей
140
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
1ГЛ, I
объемной плотности полной пондеромоторной силы получится
р Е2 д& J_d_ ( де \ _
^ л 8л дх 8л дх \ дх ) дх
Такие же выражения можно написать для у- и г-составляющнх силы /. Объединяя их в одну векторную формулу, получим
/= — grad^5 + р? —grad є grad ^r^?2j. (34.5)
4. Повторим теперь приведенный вывод, предполагая, что жидкость является «несжимаемой». Тогда при перемещении любого элемента жидкости из одного
места пространства в другое величина s меняться не будет. Не будет изменяться
и упругая часть свободной энергии. В результате в выражении (34.5) выпадут первый и последний члены, и мы получим
/=р?—^г grade. (34.6)
В таком виде выражение для пондеромоторной силы было получено Максвеллом. Добавочный член grad (т Е2\ был введен Гельмгольцем. По величине он того
oJT V (7Ї I
Е2
же порядка, что и член ь—grade, учтенный Максвеллом. Однако в случае «не-
OJI
сжимаемых» жидкостей применимы оба способа рассуждения, приведенные выше. Поэтому в статических электрических полях должно соблюдаться соотношение
grad & = ^ grad (х ~ ?'2 j, 04.7)
шш после ингегрирозания
1 Яр
(9s = g^-T^?2 +const. (34.8)
Это означает, что добавочная часть пондеромоторной силы, возникающая в результате зависимости диэлектрической проницаемости от плотности жидкости, компенсируется гидростатическим давлением, появляющимся в жидкости при наложении электрического поля. Но в быстропеременных полях такой компенсации
нет. Там соотношение (34.8) не соблюдается. Действительно, допустим, что
электрическое поле было включено мгновенно. Электрические возмущения распространяются в диэлектриках со скоростями порядка скорости света, упругие — со скоростью звука. Поэтому в быстропеременных полях гидростатическое давление 3і не успеет прийти в равновесие с «электрическим давлением» ^ т^?а. В этом случае формула (34.7) неприменима.
ЗАДАЧА
Показать, что пондеромоторная сила (34.5) сводится к натяжению вдоль силовых линий (33.8) и давлению (33.9) в перпендикулярном направлении.
Решение. Докажем обратное: считая натяжения и давления известными, найдем результирующую силу /, действующую на единицу объема диэлектрика. Убедимся, что она совпадает с (34.5). Вырежем мысленно в диэлектрике бесконечно малый прямоугольный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz, параллельными координатным осям (рис. 93). На основание 1 этого параллелепипеда действует сила гидростатического давления е?5 (лс) dy dz, на основание 2 — противоположно направленная сила —¦ & (л + dx) dy dz. Их результирующая,
§ 351
ПОЛЯРИЗАЦИЯ НЕПОЛЯРНЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ
141
действующая в положительном направлении оси X, равна
(*)—е?5 (* + dx)\ dtj dz = — dx dydz.
Аналогично находятся выражения для сил, действующих вдоль двух других координатных осей. Объединяя их и разделив на объем параллелепипеда dx dij dz, получим полную силу гидростатического давления, отнесенную к единице объема диэлектрика:
которая вычисляется так же. Остается найти силу /3, вызываемую натяжением к?2/(8л) вдоль поля и равным ему давлением поперек поля. При вычислении этой силы координатную ось X удобно направить вдоль вектора Е. Тогда
В результате сложения /і, /2 и /3 получается выражение (34.5).
§ 35. Электронная теория поляризации неполярных диэлектриков
1. В § 12 был качественно рассмотрен электронный механизм возникновения поляризации в диэлектриках. Поляризация диэлектриков во всех случаях возникает в результате смещений электронов и атомных ядер, которые они испытывают при внесении диэлектрика в электрическое поле. Остановимся теперь на количественной стороне теории.
К ней надо добавить силу всесторонне го изотропного натяжения в элсктри ческом поле:
— — grad 3і
dx Рис. 93.
или
Преобразуем это выражение. Прежде всего пишем
grad (гЕ-) = Е2 grad є -|- 2еЕ grad Е. Так как вектор Е содержит только .^-составляющую, то
Но
~D~i+~(tE')i = E^ = E div 0 = 4яр?. дх ох' дх v
142
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
Начнем с неполярных диэлектриков. Так называются диэлектрики, молекулы которых в отсутствие внешнего электрического поля не имеют дипольных моментов. Неполярными являются все атомы. Согласно полуклассической теории Бора простейший из всех атомов — атом водорода — состоит из ядра и электрона, вращающегося вокруг него по круговой или эллиптической орбите. Электрон смещен относительно ядра, а потому в любой момент времени такая модель атома обладает дипольным моментом. Однако из-за быстрого вращения электрона ориентация этого дипольного момента очень быстро меняется, так что в среднем дипольный момент атома равен нулю. В квантовой механике такое усреднение по положениям электрона на боровской орбите становится ненужным. Принцип неопределенности Гайзенберга делает невозможным сохранение представления о движении электрона в атоме по классическим орбитам (см. т. I, § 5). Классическая картина движения заменяется вероятностным описанием его. Можно говорить лишь о вероятности нахождения электрона в том или ином месте пространства. Электрон в атоме ведет себя подобно электронному облаку с непрерывным распределением электричества в нем. В стационарных состояниях распределение заряда в таком облаке с течением времени не меняется. Если атом находится в нормальном состоянии, т. е. не возбужден, то распределение заряда в облаке сферически симметрично относительно ядра. Поэтому дипольный момент атома точно равен нулю. Это справедливо не только для атома водорода, но и для любого атома или атомного иона в невозбужденном состоянии. Если же атом возбужден, то сферическая симметрия распределения заряда в облаке нарушается. Однако ядро по-прежнему остается центром симметрии атома, а в этом случае дипольный момент также должен равняться нулю. Неполярными будут и симметричные молекулы, построенные из нейтральных атомов. Такова, например, молекула водорода Н2.
