Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 34] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОНДЕРОМОТОРНЫХ СИЛ В ОБЩЕМ БИДЕ
137
где е — диэлектрическая проницаемость капли, а г — ее радиус. Для проводящей капли в этой формуле следует положить є = оо. То же можно делать для воды ввиду большого значения диэлектрической проницаемости последней (е = 61). В результате вместо формулы (118.5) тома II получится
ІП Р~ RT \Р° Р~Т + 8^
(33.11)
При т — 0 и г = оо эта формула дает соответственно Р = 0 и Р = Р0. В промежутке между этими значениями упругость насыщенного пара Р достигает максимума. Дифференцируя (33.11) по л и полагая dPldr= 0, находим, что это происходит при
r = r0 = \f q2/(4no). (33.12)
Применим полученные результаты к капле воды, полагая q равным элементарному заряду е, находящемуся в центре капли. При 20 °С для воды о = = 73 дин/см. По формуле (33.12) находим г0 = 6,3-10-8 см. При таких малых размерах капель макроскопические формулы как точные количественные соотношения становятся сомнительными. Тем не менее мы воспользуемся ими, рассчитывая, что грубо качественно результаты получатся правильными. Мы не будем также смущаться тем обстоятельством, что в реальных условиях осаждающиеся ионы не попадают в центр капли, а могут находиться в ней в любом месте. Зависимость упругости насыщенного пара над заряженной каплей от ее радиуса представлена на рис. 91.
Та же зависимость для незаряженной капли представляется пунктирной
кривой. Заряд капли уменьшает упругость насыщенного пара, причем при т < т'й упругость пара растет с увеличением радиуса капли. Этим и объясняется конденсация пара на ионах (см. т. II, § 119).
§ 34. Вычисление пондеромоторных сил в общем виде
1. Без ущерба для общности будем предполагать, что вещество и электри* чество распределены в пространстве непрерывно. Электрическую часть свободной энергии представим в виде
W-Jg-rfV. ,34.,)
Пусть каждая частица диэлектрика вместе со своим электрическим зарядом претерпела бесконечно малое виртуальное смещение q = q (г). Приращение величины W при таком виртуальном смещении будет
"- S 8(?)dV -4ЇЇ I ^dV+К I D‘s Ш'“у-•
или
\ EbDdV-— Ї EnzdV.
138
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
ІГЛ. I
Здесь символ б применяется для обозначения локальных изменений соответствующих величин, т. е. изменений в одном и том же месте пространства, обусловленных виртуальными смещениями вещества и электричества. Интегрирование производится по всему бесконечному пространству. Преобразуем первый интеграл с помощью интегральной теоремы Гаусса — Остроградского. Интегрируя сначала по конечному объему, ограниченному замкнутой поверхностью S, имеем
J Е 6DdV = — J grad ф • 6D dV = — ^ div (ф 8D) + $ ф div 8D dV =
= — ^ ф 6Z? dS+4л ^ ф бр dV.
Предполагая, что все заряды находятся в ограниченной области пространства, будем удалять в бесконечность окружающую их замкнутую поверхность S. Тогда в пределе первый интеграл обратится в нуль, и мы получим
dW = ^ фбр dV-~ ^ ?2 бе ay, (34.2)
2. Для упрощения последующих рассуждений предположим, что виртуальное смещение претерпевают только частицы вещества, находящиеся внутри бесконечно тонкого цилиндра, параллельного оси X. Пусть это бесконечно малое смещение происходит параллельно той же оси и является произвольной функцией
х' x'+dx' оз x+cisc
в\ 1 с' В Р- G
1 я' і
А'\ | D' Л є Я
И-------------q(xi--------->-j
|-r--------q(cc+dx}-
Рис. 92.
координаты x: q — x — x' = q(x) (рис. 92). Найдем локальные изменения плотности электричества бри диэлектрической проницаемости бє в бесконечно малом элементе объема ABCD. Через сечение АВ внутрь объема ABCD входит заряд q(x) р (*) dS, через сечение CD выходит заряд q (х + dx) р (х + dx) dS, где dS — площадь поперечного сечения. Избыток входящего заряда над выходящим составляет
[q (x)9(x)-q(x + dx)p(x+dx)]dS = -^?p-dVt
где dV = dS dx — величина рассматриваемого объема. Тот же избыток можно представить выражением бр dV, а потому
бр = -^М (34.3)
Найдем теперь локальное приращение диэлектрической проницаемости бє. Оно обусловлено, во-первых, тем, что в результате смещения в объем ABCD поступает вещество из других областей пространства, где 8 имеет другие значения. Во-вторых, тем, что при смещении каждого элемента среды меняется плотность вещества т, а с ней и диэлектрическая проницаемость. После смещения из элемента объема A'B'C'D' в элемент ABCD плотность вещества %' = х(х') получает приращение Ат и становится равной т' + Дт. Так как при этом масса смещенного
§ 34] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОНДЕРОМОТОРНЫХ СИЛ В ОБЩЕМ БИДЕ 139
вещества не меняется, то
dx'x’ = dx (т' + Дт),
откуда
. dx' — dx . d{x' — x),
dx ~(їх *
или с точностью до бесконечно малых высшего порядка
. dq
Дт — — - т. дх
Поэтому в объем ABCD вещество вступает, имея диэлектрическую проницаемость
е' + ^Дт = е'-т~^.
от дт дх
Вычитая отсюда значение є в объеме A BCD до смещения, получим
с , д г да
Ог — є — є — т - -г -.
от дх
f)p f)p
А та« как є' — е = е (х') — г (х) = (х'—х) -^- = — 9^, т0
с де де dq /0. ..
3. Поскольку электричество смещается вместе с веществом, электрический заряд каждого смещающегося элемента среды при смещении не изменяется. Поэтому, подставив выражения (34.3) и (34.4) в формулу (34.2), получим приращение величины \f при постоянном заряде:
