Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
= <32-8> Таким образом, сила /, отнесенная к единице площади, численно равна плотности свободной энергии w. Сила получилась отрицательной: она направлена в отрицательную сторону оси X, т. е. является силой притяжения.
7. Выражение (32.8) дает полную силу притяжения между пластинами конденсатора (отнесенную к единице площади). Она слагается из упругой силы fynp и электрической силы /9Л. Чтобы выделить эти составные части, надо несжимаемую жидкость рассматривать как предельный случай сжимаемой. Существенно заметить, что виртуальное смещение Ьх можно выбрать каким угодно. От этого величина полной силы / не изменится. Возьмем такое виртуальное смещение положительно заряженной пластины 8х, чтобы жидкость в конденсатор не поступала. Для этого, конечно, надо ввести добавочные уравновешивающие силы. Однако эти силы не будут совершать работы, поскольку они приложены к неподвижным частям жидкости. При неизменных зарядах индукция D, по-прежнему, меняться не будет. Но плотность жидкости в конденсаторе т, а с ней и диэлектрическая проницаемость е изменятся. В случае сжимаемой жидкости надо учитывать изменения и упругой части свободной энергии. Полное изменение свободной энергии будет dW = dWynp 4-+ dW. Для изменения упругой свободной энергии имеем
dYynp^-^-SW,
130
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
где 9і — гидростатическое давление жидкости в конденсаторе, а ~ вне его. Изменение электрической части свободной энергии определяется выражением
Диэлектрическая проницаемость є является функцией только плотности жидкости т и температуры Т, так что
Изменение плотности можно найти из условия сохранения массы жидкости в конденсаторе: xV = const. Оно дает V 6т + тбК = 0. Определив отсюда 6т и учтя соотношение б У = 5 6л;, получим
Подстановка полученных выражений в (32.1) приводит к результату
Тем самым выделена упругая часть силы /упр = 3і 0>о. Для несжимаемых (точнее, слабо сжимаемых) жидкостей в состоянии равновесия формула (32.9) должна переходить в (32.8), т. е. должно быть
Таким образом, дополнительная электрическая сила
__ /де\ ?2_
^ \дт)г8л ’
возникающая в результате зависимости диэлектрической проницаемости от плотности диэлектрика, компенсируется гидростатическим давлением. Более строгое обоснование этого утверждения будет дано в §§ 33 и 34. Однако такая компенсация имеет место только в статике. Если электрическое поле меняется во времени, то компенсации, вообще говоря, нет.
1. Получить выражение для силы притяжения между пластинами плоского воздушного конденсатора, рассматривая эту силу как результат взаимодействия электрических зарядов.
Решение. Одна из пластин конденсатора создает электрическое поле Е\ = 2яа. Это поле действует на вторую пластину с силой F = SaFi = 2naaS. Поверхностная плотность электричества а связана с напряженностью
(32.9)
(32.10)
ЗАДАЧИ
МАКСВЕЛЛОВСКИЕ НАТЯЖЕНИЯ И ДАВЛЕНИЯ
131
электрического поля в конденсаторе Е соотношением Е — 4 л; ст. Исключая ст, получим
2. Между пластинами плоского воздушного конденсатора введена плоскопараллельная пластинка из твердого диэлектрика, так что между ней и пластинами конденсатора остались воздушные зазоры. Как изменится при этом сила притяжения между пластинами конденсатора?
Ответ. Сила притяжения не изменится.
3. Конденсатор переменной емкости состоит из
двух неподвижных металлических пластин, расположенных на расстоянии d друг от друга, и подвижной диэлектрической пластины, которая может поворачиваться и входить в зазор между металлическими пластинами (рис. 85). Все пластины имеют форму полукруга радиуса R, причем зазоры между диэлектрик ческой пластиной и пластинами конденсатора пренеб- Рис. 85.
режимо малы по сравнению с d. Пренебрегая краевыми
эффектами, найти момент сил М, действующих на диэлектрическую пластину, когда она выведена из положения равновесия. Конденсатор заряжен до разности потенциалов ф, диэлектрическая проницаемость подвижной пластины равна е.
О т в е т. М = (s — 1) /?2ф2/(16пй). Момент М стремится втянуть диэлектрическую пластину внутрь конденсатора.
4. В предыдущей задаче величина момента М не зависит от угла поворота О диэлектрической пластины. Но в положении равновесия, когда '0=0, момент М должен обращаться в нуль. Объяснить это расхождение.
§ 33. Максвелловские натяжения и давления
1.- В настоящем и следующем параграфах будет продолжено изучение поидеромоторных сил, действующих в электрических полях. Найдем пондеромоторные силы, действующие на границе раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями єг и е2. Поверхностная плотность свободных зарядов на границе раздела может быть равна нулю, но может быть и отличной от нуля. Для последующих вычислений это не имеет значения. Рассмотрим сначала случай, когда электрическое поле однородно и перпендикулярно к границе раздела. Примером может служить плоский конденсатор, пространство между обкладками которого заполнено двумя однородными диэлектрическими жидкостями, граничащими вдоль плоскости, параллельной пластинам конденсатора (рис. 86). Предположим, что обе жидкости несжимаемы. Тогда при виртуальных смещениях упругая часть свободной энергии изменяться не будет. Сместим изотермически границу раздела вверх на расстояние 6*, сохраняя заряды пластин постоянными. При постоянных зарядах останутся постоянными и индукции в диэлектриках Dt и Z>2, а с ними и плотности свободной энергии
