Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
77
лярной функции, а именно потенциала ф (х, у, г). Зная эту функцию, можно вычислить напряженность поля по формуле (18.3) или (18.5). Формулы (18.3) и (18.5) с особой отчетливостью показывают несущественность аддитивной постоянной в выражении для потенциала: при дифференцировании аддитивная постоянная выпадает и не влияет на результат. Те же формулы показывают, что напряженность поля имеет размерность потенциала, деленного на длину. На практике напряженность электрического поля часто выражают в вольтах на сантиметр или в вольтах на метр. Приближенно
1 В/смяащ СГСЭ-единиц, 1 В/м ^ эд-Щ) СГСЭ-единнц.
3. Для выяснения геометрического смысла градиента введем понятие эквипотенциальных поверхностей, или поверхностей равного потенциала. Как показывает само название, эквипотенциальная поверхность есть такая поверхность, на которой потенциал остается постоянным. Он может меняться только при переходе от одной эквипотенциальной поверхности к другой.
Возьмем на эквипотенциальной поверхности произвольную точку О и введем локальную систему координат с началом в этой точке (рис. 56). Ось Z направим по нормали п к эквипотенциальной поверхно- Рис. 56.
сти в сторону возрастания потенциала ср.
То же направление примем за положительное направление нормали п. Координатная плоскость ХУ, очевидно, совместится с касательной плоскостью к эквипотенциальной поверхности. Тогда в точке О <?ср/дх = дц>/ду = 0. Кроме того, k = п, dtyldz = ду/дп. Формула (18.4) переходит в
grad ф= Ц- п. (18.6)
Функция ф возрастает наиболее быстро в направлении нормали п. Поэтому можно дать следующее определение. Градиент функции <Р (х, у, г) есть вектор, направленный в сторону максимального возрастания этой функции, а его длина равна производной функции ф в том же направлении. Преимущество этого определения состоит в том, что оно носит инвариантный характер, т. е. никак не связано с выбором какой бы то ни было системы координат.
Проведем теперь в каком-либо направлении единичный вектор s. Проекция вектора А = grad ф на это направление будет As — = (j4s) = (5 grad ф). Но ту же величину можно представить в виде производной As = дфIds, в чем легко убедиться, проведя в направлении « координатную ось и воспользовавшись одной из формул
78
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
(18.2). Таким образом, получается соотношение
-J = (sgradcp). (18.7)
Производная функции ср в каком-либо направлении равна проекции вектора градиента этой функции на то же направление. Ясно, что эта производная максимальна, когда вектор s направлен вдоль grad ф, т. е. по нормали к эквипотенциальной поверхности.
4. Вектор Е направлен противоположно вектору градиента потенциала ф. Электрические силовые линии являются, таким образом, линиями, вдоль которых потенциал ф изменяется наиболее быстро. Они нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Эквипотенциальные поверхности могут служить поэтому для наглядного изображения картины поля. Обычно их чертят так, что при переходе от одной эквипотенциальной поверхности к соседней потенциал получает одно и то же приращение Аф. Чем меньше выбрано Аф, тем детальнее будет представлено распределение потенциала в пространстве, а с ним и картина электростатического поля. Для большей наглядности чертят также силовые линии, ортогональные к семейству поверхностей равного потенциала. Там, где (при постоянном Аф) соседние эквипотенциальные поверхности наиболее близко подходят друг к другу, напряженность электрического поля максимальна. Наоборот, в местах, где расстояния между ними велики, будет мала и напряженность поля Е. Поверхность проводника есть одна из эквипотенциальных поверхностей, и силовые линии должны подходить к ней нормально. Внутри проводника Е — О, а потому потенциал ф должен иметь одно и то же значение во всех точках проводника. Здесь эквипотенциальная поверхность вырождается в эквипотенциальный объем.
ЗАДАЧ И
1. Доказать формулу
div (срЛ) = (Л grad ф) + ф div А. (18.8)
2. Доказать формулу
grad (аг) = а, (18.9)
где а — постоянный вектор.
3. Из трех концентрических бесконечно тонких металлических сфер с радиусами /?і < /?2 < Яз. находящихся в вакууме, крайние заземлены, а средней сообщен электрический заряд Q. Найти напряженность электрического поля во всем пространстве.
Ответ. Электрическое поле радиально и определяется выражениями ' 0, если л < Ях или Я3 < л < оо,
Яі (R-2—Я3) Q ,2~>
ч RAR3-Ri)r* R3 (Rt-Ri) Q
Я2 (Я3-Я1) A2 !
где r — расстояние от центра сфер.
если Я і < г < /?2. если Я2 < г < Я3,
§ 10] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ
79
4. Из трех параллельных металлических пластинок А, В и С (рис. 57) крайние А и В неподвижны и соединены с гальванической батареей, поддерживающей разность потенциалов V между ними постоянной. Средняя пластинка С сначала находится в контакте с верхней пластинкой А. Затем с помощью изолирующей ручки она перемещается по направлению к нижней пластинке. Пренебрегая краевыми эффектами, найти напряженности
полей и ?. в зазорах между пластинками в зависимости от переменного расстояния х.
