Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 50.
Рис. 51.
увеличивается, т. е. силовая линия удаляется от нормали к границе раздела. С этим связана концентрация (сгущение) силовых линий в диэлектрике с большей диэлектрической проницаемостью. Примером может служить диэлектрическая пластинка, внесенная в однородное электрическое поле (рис. 50).
Если полый диэлектрик с большой диэлектрической проницаемостью внести в электрическое поле, то из-за преломления силовые линии сконцентрируются преимущественно в стенках диэлектрика (рис. 51). Внутри полости они расположатся редко. Это значит, что поле в полости будет ослаблено по сравнению с наружным полем. Полость внутри диэлектрика, таким образом, обладает экранирующим действием. В этом отношении она ведет себя аналогично полости в металле. Однако, в отличие от металла, экранирование диэлектрика не полное. Чем больше диэлектрическая проницаемость, тем сильнее экранирующее действие.
70
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
§ 16. Поле равномерно поляризованного шара
1. До поляризации в шаре была однородная смесь положительного и отрицательного электричеств с объемными плотностями +р и — р. Сдвинем все положительные заряды относительно отрицательных на одно и то же расстояние 61. (На рис. 52 смещение 6/ сильно преувеличено. В практически важных случаях оно мало даже по сравнению с атомными размерами.) Шар равномерно поляризуется, причем вектор поляризации будет Р = р 6/. Мы видим, что поле Е равномерно поляризованного шара есть векторная сумма полей двух равномерно и разноименно заряженных шаров, немного смещенных друг относительно друга. Рассмотрим два случая.
Рис. 52. Случай 1. Поле внутри рав-
номерно поляризованного шара. Пусть О и О' — центры отрицательно и положительно заряженных шаров, а г и г' — радиусы-векторы, проведенные из этих центров. Согласно формуле (6.5) поля этих шаров равны соответственно
а их геометрическая сумма
?(0=^-р (/•'-/•) = — ™р6/,
или
р. (16.1)
Случай 2. Поле равномерно поляризованного шара во внешнем пространстве. Пусть q — заряд положительного шара. Каждый шар возбуждает во внешнем пространстве такое поле, как если бы весь заряд был сосредоточен в центре шара. Поэтому поле равномерно поляризованного шара во внешнем пространстве будет совпадать с полем точечного диполя с дипольным моментом р — q&l = VP, где V — объем шара. Следовательно, вне шара
Е(е) = У[ЩгГ-^\
4 jt
Чтобы найти Е(е) на границе шара, следует положить V — -^-r3.
ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ПОЛЯРИЗОВАННОГО ШАРА
71
Это дает
?ге1 = 4л (Ря) я —-~Р, (16.2)
где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности шара.
2. Равномерную поляризацию шара можно получить, поместив его во внешнее однородное электрическое поле ?0. Для доказательства достаточно убедиться, что при этом будут удовлетворены условия в бесконечности и граничные условия па поверхности шара. Последние требуют, чтобы по разные стороны поверхности шара были одинакозы касательные составляющие векторов ? и нормальные составляющие векторов D. Полное поле Е слагается из внешнего поля ?0 и поля поляризованного шара. На бесконечности полное поле должно переходить в ?0. Это условие, очевидно, удовлетворяется, так как на бесконечности поле поляризованного шара, исчезает, поскольку оно убывает обратно пропорционально кубу расстояния. Внутри шара Е = Е0 + ?('\ вне шара Е = Е0 + Е<е>. Касательные составляющие обоих полей на поверхности шара одинаковы, как это видно из выражений (16.1) и (16.2). Вне шара индукция равна Е0 + Е'е\ внутри шара она будет ?0 + Е<‘> + inP. С учетом (16.1) и (16.2) отсюда получаем на поверхности шара
Art
D<e) = ?„ + 4л (Рп) п--Р,
Da>=E0--^-P + AnP.
Отсюда видно, что нормальные составляющие этих векторов одинаковы. Значит, граничные условия удовлетворены, чем и завершается доказательство.
Полное поле внутри шара, как следует из формулы (16.1), определяется выражением
Е = Ео--~Р. (16.3)
Вектор Р отсюда можно исключить, используя выражение Р= аЕ. Таким образом получаем соотношение между внутренним и внешним полями:
(l+i^-a)? = ?0f (16.4)
?„• (16.5)
или
е + 2
Вектор поляризации внутри шара будет
„ „ За „ 3 е — 1 „
е + 2 4it е + 2
В результате во внешнем однородном поле ?0 шар радиуса а приобретет диполь-ный момент р = VP, или
Р=а3Т^Е°- (16-6)
3. Рассчитаем теперь напряженность поля Е в сферической полости, вырезанной внутри равномерно поляризованного диэлектрика в предположении, что поляризация вне полости всюду однородна. Тогда и внешнее поле в диэлектрике Е будет также однородно. Если полость заполнить тем же равномерно поляризованным
72
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
диэлектриком, то к полю в полости Е' добавится поле равно-
4д
мерно поляризованного шара —^- Я. В результате должно получиться поле ?, т. е. ?' — -у- Р= Е. Отсюда
¦?' = Е+4?-А (16.7)
Исключив вектор Р, найдем
(16:8)
ЗАДАЧИ
: 1. Найти приближенное выражение для силы, действующей в неоднородном электрическом поле на маленькие диэлектрический и металлический шарики радиуса а.
Решение. Если бы внешнее поле Е0 было однородно, то шарик приобрел бы дипольный момент, определяемый выражением (16.6). Тот же результат приближенно справедлив и в неоднородном поле. Используя его и формулу (4.8), находим искомую силу:
