Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
(13.6)
3. Теорема Гаусса для вектора индукции в диэлектрике имеет такой же вид, как и для напряженности электрического поля в вакууме. Поэтому все математические соотношения, полученные из'нее для вакуума, сохраняют силу и для однородного диэлектрика. Надо только вектор Е заменить вектором D. Таким путем из формул (6.1)—(6.3) и (6.5) получаем, например,
которому должны удовлетворять нормальные составляющие век-
щихся на границе диэлектриков. Поверхностная плотность поляризационных зарядов равна сгпол = Р1п — Р,п (рис. 46). Учитывая ее, получаем Е2п — Е1п = 4л (сг + оП0д), или
D — 2m,
4np.v внутри пластинки,
4яра вне пластинки,
іара,
(13.7)
(13.8)
Индукция точечного заряда в однородном диэлектрике ется выражением
определЯ'
<13.10)
• § 14. Граничные условия
1. Из соотношения (5.5) мы получили граничное условие (6.9),
Г
тора Е на заряженной поверхности. Поступая совершенно так же, из теоремы Гаусса для диэлектриков (13.4) получаем следующее условие на границе раздела двух диэлектриков:
+ + + + + +
Din — DVl = 4лсг, (14J)
Отличие формулы (14.1) от аналогичной формулы (6.9) обусловлено влиянием поляризационных зарядов, появляю-
где о — поверхностная плотность свободных зарядов на этой границе.
Рис. 46.
(?2„ + 4пР2п) - (Ещ + 4пР1п) = 4лсг, (14.2;
а эта формула тождественна с (14.1).
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
05
В частности, вектор индукции в диэлектрике на границе с проводником определяется выражением
D = Апвп. (14.3)
Здесь единичная нормаль п проведена от металла к диэлектрику. Если на границе раздела нет свободных зарядов, то
Din —Don.
(14.4)
Таким образом, при переходе через незаряженную границу двух диэлектриков нормальная составляющая вектора D остается непрерывной. Что касается вектора Е, то на любой границе остаются непрерывными его тангенциальные составляющие:
Ец — Еч
(14.5)
?
Рис. 48.
Эго утверждение доказывается так же, как и для поля в вакууме (см. § 6, а также § 17).
2. Пользуясь граничными условиями (14.4) и (14.5), можно указать принципиальный способ измерения векторов ? н D в диэлектрике. Обычный метод измерения Е Рис- 47-
по силе, действующей на пробный заряд, годится для поля в вакууме, а к веществу применим не всегда. Дело в том, что выражение для действующей силы F = qE справедливо в вакууме, а в веществе в лучшем случае является приближенным. Кроме того, внесение пробного заряда в вещество может оказаться просто невозможным, например, при необходимости измерить напряженность или индукцию поля в твердом диэлектрике. Единственный принципиальный способ измерения векторов Е и D внутри поля, пригодный во всех случаях, состоит В том, чтобы в теле сделать полость и внести в нее пробный заряд. Одйако измеренное таким путем поле, вообще говоря, не будет совпадать ни с вектором Е, ни с вектором D. Результат зависит от формы полости. Только для полостей специальной формы -измерение непосредственно дает Е и D. Рассмотрим два случая.
Случай 1. Полость имеет форму очень длинного и тонкого цилиндрического канала, параллельного полю Е (рис. 47). Количество вещества внутри канала бесконечно мало. Его удаление яз этого канала меняет электрическое поле в окружающем диэлектрике бесконечно мало. На концах канала появляются лишь поляризационные заряды, влияние которых на электрическое поле фдали от этих концов пренебрежимо мало. Из соображений симметрии следует, что поле в канале Ео параллельно наружному полю Е.
66
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
Поэтому из граничного условия (14.5) получаем Е = Е0. Таким образом, измерение Е сводится к измерению Е0.
Случай 2. Полость имеет форму бесконечно короткого цилиндра с основаниями, перпендикулярными к вектору D (рис. 48). Как и в предыдущем случае, удаление вещества из такой бесконечно малой полости сказывается на поле в окружающем диэлектрике также бесконечно мало. Действительно, на границах полости появляются поляризационные заряды противоположных знаков. Вне полости поля этих зарядов почти полностью компенсируют друг друга. Однако внутри полости поля поляризационных зарядов усиливают друг друга, что существенно меняет поле в полости. Внутри полости электрическое поле Е0, ввиду симметрии, перпендикулярно к ее основаниям. В полости напряженность и индукция поля совпадают (Е0 — D0). Поэтому из граничного условия
(14.4) получаем D = Е0. Измерение D сводится к измерению Е0.
§ 15. Поляризуемость и диэлектрическая проницаемость
1. Одним из фундаментальных уравнений электростатики является теорема Гаусса (13.4) или (13.5). Второе фундаментальное уравнение электростатики будет сформулировано в § 17 при введении понятия потенциала. В вакууме, где поле характеризуется одним только вектором Е, этих уравнений достаточно. Они образуют полную систему уравнений электростатики. В веществе к вектору Е надо добавить еще один вектор (Р или D). Поэтому уравнения электростатики надо дополнить еще одним векторным уравнением. Принципиальный способ получения такого уравнения содержится в самом определении вектора поляризации Р. Если известна атомная структура вещества, то в принципе можно рассчитать смещения электронов и атомных ядер, которые они получают при внесении вещества в электрическое поле. После этого можно вычислить вектор Р и тем самым получить недостающее уравнение. Ясно, что в зависимости от конкретных условий таким путем должны получаться весьма разнообразные и сложные соотношения. Универсальной связи между векторами Р и Е, пригодной для всех веществ, не существует. Здесь мы не можем идти по указанному пути. Мы получим недостающее уравнение, опираясь на опыт.
