Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
4. Конкретное строение диэлектрика и механизм его поляризации для наших ближайших целей не имеют значения. Существенно лишь, что поляризация диэлектрика сопровождается появле-: нием на нем нескомпенсированных макроскопических зарядов. Мы можем довольствоваться грубой моделью, в которой положительное и отрицательное электричества рассматриваются как непрерывные жидкости, равномерно перемешанные друг с другом. При поляризации диэлектрика происходит смещение одной жидкости относительно другой. Существенно, что такие смещения; в обычных условиях ничтожны даже по сравнению с размерами атомов. Это связано с тем, что внешние поля, действующие на диэлектрик, очень слабы, если их сравнивать с внутренними электрическими полями атомов и молекул. Так, на электрон в атоме водорода действует электрическое поле ядра Е = е/r'2
107 СГСЭ-ед. да 10й В/м, громадное по сравнению с обычными макроскопическими полями.
5. Для количественного описания поляризации диэлектрика пользуются вектором поляризации. Так называется дипольный момент единицы объема диэлектрика, возникающий при его поляризации. Возьмем кусок однородного диэлектрика, имеющий
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. [
форму косого параллелепипеда (рис. 44). Поместим его в однородное электрическое поле, направленное параллельно боковым ребрам. На основаниях параллелепипеда появятся поляризационные заряды с поверхностной плотностью апол. На боковых гранях поляризационных зарядов не возникнет, так как смещение зарядов внутри диэлектрика происходит параллельно этим граням. Если S — площадь основания параллелепипеда, то диэлектрик приобретет дипольный момент сгпол5/, где / — вектор, проведенный от отрицательного основания параллелепипеда к положительному параллельно боковым ребрам. Вектор поляризации диэлектрика будет
р = ?5ш?/, (12.1)
где V— объем параллелепипеда. рис 44 Пусть п — единичный век-
тор внешней нормали к основанию параллелепипеда, заряженному положительно. Тогда V — S (In). Подставив это значение в формулу (12.1) и умножив ее скалярно на п, найдем
<Гпол = {Рп) = Рп. (12.2)
В частности, если параллелепипед прямоугольный, то апол = Р. Формула (12.2) была выведена применительно к положительно заряженному основанию. Но она верна и для отрицательно заряженного основания, так как на нем внешняя нормаль п направ-
лена в противоположную сторону, а потому проекция Рп отрицательна. Формула справедлива и на боковой поверхности параллелепипеда, так как на ней, как мы
видели, стпол = 0, что согласуется с формулой (12.2). Таким образом, формула
(12.2) справедлива в общем случае.
Формула (12.2) показывает, что нормаль-Рис. 45. ная составляющая Рп представляет по вели-
чине количество электричества, смещаемое при поляризации через единичную площадку в направлении нормали п к ней. Эта интерпретация применима и в случае неоднородной поляризации, т. е. такой, при которой вектор Р меняется от точки к точке. Чтобы убедиться в этом, достаточно мысленно разделить диэлектрик на малые объемы, в пределах каждого из которых поляризация может считаться однородной.
6. Как сказано выше, при неоднородной поляризации поляризационные заряды могут появляться не только на поверхности, но и в объеме диэлектрика. Вычислим теперь плотность объемных
ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ
63
поляризационных зарядов. Выделим мысленно в диэлектрике произвольный объем V, ограниченный замкнутой поверхностью S (рис. 45). Заряд, смещенный при поляризации через площадку dS в отрицательном направлении нормали я, согласно формуле (12.2) равен —PndS.\ Через всю поверхность S внутрь объема V при поляризации поступает поляризационный заряд
<7пол = — §Р ndS = — § (Р dS). (12.3)
Если поляризация однородна, то <7,10л = 0.
§ 13. Теорема Гаусса для диэлектриков
1. Как выяснено в § 11, влияние диэлектрика на электрическое поле сводится к действию поляризационных зарядов. Поэтому к диэлектрикам можно применить соотношение (5.5), добавив при этом к свободным зарядам q поляризационные заряды qa01l:
§EndS = 4n(q + qa01l). (13.1)
Подставив сюда значение qa0Jl из формулы (12.3), получим
ф (Еп + 4л/3„) dS = 4л<7. (13.2)
Введем новый вектор
D = ?+ 4лР, (13.3)
называемый вектором электрической индукции. Тогда
§DndS = 4nq. (13.4)
Это и есть теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике. Мы видим, что поток вектора D через замкнутую поверхность определяется только свободными зарядами. Этим и оправдывается введение вектора D. В вакууме векторы D и Е совпадают.
2. В дифференциальной форме соотношение (13.4) имеет вид
div/) — 4np, (13.5)
где р — объемная плотность свободных зарядов. Нелишне напомнить, что теоремы (13.4) и (13.5) справедливы не только в электростатике. Они постулируются также для переменных во времени полей. Эти теоремы входят как составные части в систему фундаментальных электродинамических уравнений Максвелла. Подставив в (13.5) выражение (13.3), получим
div Е = 4л (р — div Р).
Но для той же величины можно написать
div ? = 4л (Р + Рпол).
64
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
Следовательно,
Рпол = — div Р.
