Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
і (х) —/’(* + dx) — — dJx dx. То же приращение равно dx. Такнм
§ 144]
СКИН-ЭФФЕКТ
649
образом,
(144.1)
где D — коэффициент диффузии. Выделим теперь в трубе столб вещества длиной I. Пусть в начальный момент времени на левом конце этого столба концентрация
столба. Плотность диффузионного тока будет j^Dn/l. Ту же величину можно представить выражением /' = nv, где v — скорость, с которой вещество при диффузии распространяется вдоль трубы. Отсюда находим v ^ Dll. Время т, за которое вещество диффундирует на расстояние /, будет т ttllvzzPlD, и, следовательно,
2. Перейдем теперь к задаче о проникновении электромагнитного поля в металл. В пренебрежении током смещения этот процесс описывается уравнениями
Пользуясь соотношениями j =» ХЕ и В — \iH, исключим из этих уравнений векторы Е и Н. Получим
Допустим, что все величины зависят только от одной координаты х, и для этого случая запишем полученные уравнения в координатной форме. Поступая так же, как при выводе формул (139.2), убедимся, что уравнения распадутся на две однотипные группы. В одну группу войдут уравнения, содержащие jy и Вг, в другую — /г и Ву. Поскольку эти две группы уравнений независимы, достаточно исследовать одну из них. Поэтому с самого начала можно предположить, что ток j течет параллельно оси Y, а магнитное поле В направлено вдоль оси Z. В таком случае
п отлична от нуля, а на правом обращается в нуль. Допустим также, что концентрация п равна нулю во всех точках трубы, расположенных правее выделенного
х x+dx
Рис. 372.
l^VDx.
(144.2)
rot votE = -~B.
(144.3)
X
Эти уравнения переходят в (144.1), если произвести замену п-*---В
650
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. X
И ПОЛОЖИТЬ
4л[гА
Таким образом, распространение электромагнитного поля в металле описывается уравнениями диффузии, причем роль коэффициента диффузии играет величина (144.4).
Допустим теперь, что по плоской поверхности металла начинает течь переменный ток, периодически меняющийся во времени с периодом Т. Через половину периода Т/2 ток изменит направление на противоположное. За это время, как видно из формулы (144.2), магнитное поле, а с ним и электрический ток успеют проникнуть внутрь металла на глубину
: <144'5)
где v = 1/Т — частота переменного тока.
Таким образом, плотность тока в металле убывает С глубиной. Ток течет практически только в поверхностном слое металла, толщина которого порядка I. Это явление называется скин-эффектом (от английского слова «скин», что означает «кожа»), а величина I — глубиной проникновения тока (или магнитного поля) в металл. Глубина проникновения убывает с частотой, как 1/]А\ Возьмем в качестве примера медь. Для нее Х = 5,4*1017 с-1 (величину [х принимаем равной единице). Тогда для «городского» тока v = 50 Гц, и по формуле (144.5) находим I ^ 0,7 см ~ 1 см. При v = 5000 Гц /~0,1 см, при v = 5-Ю5 Гц /~0,01 см и т. д. Таким образом, токи высокой частоты текут только в тонком поверхностном слое металла. В целях упрощения вычислений мы рассмотрели явление скин-эффекта для случая бесконечного металла, ограниченного плоскостью. Но скин-эффект, конечно, имеет место и в тех случаях, когда токи текут по проводам. Только в этом случае выражение для глубины проникновения будет отличаться от (144.5) множителем, зависящим от радиуса провода. Впрочем, этот множитель порядка единицы, а потому для понимания явления он никакой существенной роли не играет.
3. Дадим теперь качественное объяснение скин-эффекта. Рассмотрим цилиндрический провод, по которому течет переменный ткэ? (рис. 373). Возьмем в меридиональном сечении провода прямоугольный контур MM'N'N, одна из сторон которого ММ' проходит по оси провода. Пусть в рассматриваемый момент ток е7 течет вверх. Магнитные силовые линии будут обвиваться вокруг оси провода, как указано на рис. 373. Допустим теперь, что ток о7, а с ним и магнитный поток Ф через контур NMM’N' возрастают. Тогда возникает электрическое поле индукции /?инд, направленное на NN1 вверх, а на ММ' — вниз. Это поле будет усиливать ток
(144.4)
§ 1441
СКИН-ЭФФЕКТ
651
на периферии NN' и ослаблять на оси ММ'. Если же ток 3 убывает, то поле Етд изменит направление — теперь ток будет усиливаться на оси ММ’ и ослабляться на периферии NN'. Таким образом, каково бы ни было изменение тока 3, индукционный ток способствует этому изменению на периферии и препятствует на оси провода. В результате этого амплитуда установившихся колебаний тока на NN' становится больше, чем на оси ММ'. Чем дальше от оси провода, тем больше амплитуда колебаний тока, так как магнитный поток Ф через контур ММ'N'N увеличивается с возрастанием расстояния MN. Такое перераспределение тока по сечению провода и есть скин-эффект.
Концентрация тока на поверхности провода приводит к тому, что сплошной провод начинает вести себя как полый с толщиной стенок, равной приблизительно глубине проникновения
I. От этого сопротивление провода увеличивается, а индуктивность уменьшается. Поэтому для быстропеременных токов провода выгодно делать полыми, в виде труб, а не в виде сплошных проволок, так как внутренние приосевые части таких проволок в этих случаях бесполезны. Для более конкретного представления о влиянии скин-эффекта на сопротивление проводов приведем следующие данные. При частоте переменного тока v = 50 Гц сопротивление медного провода диаметром 2 см по сравнению с сопротивлением постоянному току увеличивается приблизительно на 3%, а для проволоки диаметром 2 мм — всего на
