Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
L Г'і г3 \t—L L ~Jri vr2 \_o2r^ vzr
V V V
(141.10)
V V
Значок t — rlv, поставленный внизу справа от каждого слагаемого, напоминает о том, что значения дипольного момента р и его производных по времени следует брать не в момент времени t, а в более ранний момент времени t — rlv. Такое «запаздывание» поля колеблющегося диполя означает, что электромагнитное поле не стоит на месте, а распространяется в виде возмущения со скоростью V.
632
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. X
При выводе формул (141.10) мы для краткости выражались так, как если бы векторы р и р имели то же направление, что и сам вектор р. В действительности это обстоятельство нигде не использовалось. Поэтому окончательные формулы (141.10) справедливы независимо от того, совпадают ли направления всех трех векторов р, р, р или эти направления различны.
5. Поле, представляемое формулами (141.10), можно разложить на три части в зависимости от того, как они убывают с расстоянием от диполя г. При малых г, когда запаздывание несущественно, основную роль играет первое слагаемое. Оно меняется обратно пропорционально кубу расстояния г. Его мгновенное значение совпадает с полем статического диполя момента р. Затем идут два члена: один электрический, другой магнитный, зависящие от р и убывающие обратно пропорционально квадрату расстояния г. Магнитный член на малых расстояниях от диполя соответствует закону Био и Савара и представляет собой магнитное поле элемента тока р. Электрический член не допускает какой-либо простой интерпретации. Наконец, последние два члена, из которых один также электрический, а другой магнитный, зависят от второй производной дипольного момента. Эти члены убывают с расстоянием всего медленнее, а именно обратно пропорционально первой степени расстояния г. На больших расстояниях г эти члены становятся настолько большими по сравнению со всеми остальными членами, что последними можно полностью пренебречь. Тогда говорят о волновой зоне излучающего диполя. Таким образом, если пренебречь всеми более быстро убывающими слагаемыми, то для поля в волновой зоне можно написать
V V
(141.11)
H=~[pr1 r
V
Отсюда следует
D = ^[HN], H=^[ND], (141.12)
где N = r!r — единичный вектор, направленный вдоль радиуса-вектора г. Мы видим, что векторы D и Н взаимно перпендикулярны. Оба они перпендикулярны к радиусу-вектору г (рис. 357). Вектор D лежит в плоскости меридиана, а вектор Н направлен вдоль параллели, если в качестве полярной оси взять направление вектора р (в момент времени t — v!r). Полученное поле в волно-
§ 141]
ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ДИПОЛЯ ГЕРЦА
633
вой зоне называется сферической электромагнитной волной1). Таким образом, соотношения между электрическим и магнитным векторами в волновой зоне такие же, как и для плоской электромагнитной волны (см. § 139). Это вполне естественно, так как на больших расстояниях от излучающего источника малый участок сферического волнового фронта должен вести себя практически как плоский.
6. Вектор плотности потока электромагнитной энергии равен ЛОН]. Подставляя сюда значение D из (141.12),
получим
4ле
4лео
//W,
или с учетом выражения (141.11) для Н
Г, sin2 О
4л ev3r2
Р2
N,
(141.13)
где ft — полярный угол, т. е. угол между векторами риг.
Выражение (141.13) показывает, что колеблющийся диполь излучает электромагнитную энергию в окружающее пространство. Поток энергии направлен вдоль радиуса, его плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния г. Излучение не изотропно, его максимум приходится на угол Ф = 90°. В направлении векігорар излучение отсутствует. «Диаграмма направленности» излучения диполя Герца представлена на рис. 358. Чтобы найти интегральную мощность излучения, т. е. полную энергию — dM/dt, излучаемую диполем в единицу времени, умножим модуль выражения
*) Это название не совсем точно. Сферическая симметрия относится не к электромагнитному полю диполя, а только к форме волновых фронтов, т. е. поверхностей, до которых одновременно доходит возмущение: волновые фронты являются сферами, центры которых находятся в точке нахождения диполя в момент излучения.
634
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. X
(141.13) на элемент поверхности сферы 2лг2 sirt Ф d$ и проинтегрируем по всем направлениям. Таким путем найдем
йШ 2 р2 г. (141.14)
dt ЗєіЯ И t
v
7. Во всех предыдущих вычислениях относительно характера изменения дипольного момента р во времени не вводилось никаких предположений. Допустим теперь, что вектор р совершает синусоидальные колебания р — рйеш. Тогда р = іар, р — —ы2р. Замена времени t на t — rlv преобразует экспоненциальный множитель в еш (.t — rjv) — ei(at — kr)^ Где ? _ [0/у — волновое ЧИСЛО. В результате из- формул (141.10) получаем
D=[(« г - ?) + Ік (ВЕЙ л_ *.) _ *.( 0V2 г _ А)]«-м,
и аналогично для Н. Это выражение интересно в том отношении, что оно позволяет точно сформулировать, когда можно пользоваться электростатическим приближением, а когда достаточно ограничиться волновым полем, убывающим обратно пропорционально г. Действительно, отношение каждого члена полученной суммы к предыдущему порядка kr. Если kr 1, то справедливо электростатическое приближение. Это — условие квазистационарности, которое также можно представить в виде г где
